Prognosemetoder – en oversikt - Telenor

i etterspørselen i påfølgende måneder
samme år. Ved å kombinere disse
avhengighetsstrukturene får vi sesongmodellene.
Likningen for modellene
settes ikke opp her.
11.5 Ikke-stasjonære modeller
De modeller som hittil er satt opp, kan
benyttes på tidsrekker som er stasjonære
– det vil si tidsrekker som fluktuerer
rundt en fast gjennomsnittsverdi og som
for øvrig har egenskaper som holder den
konstant over tid. De fleste tidsrekker er
ikke-stasjonære, og det er fortrinnsvis de
som er interessante i en prognosesituasjon.
For å kunne modellere ikke-stasjonære
tidsrekker ved bruk av Box-Jenkins
metode må tidsrekkene transformeres.
Dette gjøres ved å differensiere tidsrekken.
Her differensieres tidsrekken
{yt } og det lages en ny tidsrekke som er
gitt ved:
zt = yt - yt-1 (11.5)
Anta at y er totalt antall hovedabonnement
ved tidspunkt t. Denne tidsrekken
vil selvsagt alltid stige og vil ikke være
stasjonær. Den tidsrekken som er definert
ved likning (11.5) angir differansen
mellom akkumulert antall abonnement i
tidspunkt t og tidspunkt t - 1 – det vil si
tilveksten i abonnement i løpet av denne
perioden. Dersom den tidsrekken som
angir tilveksten i abonnement pr tidsenhet
hele tiden ligger på samme nivå, har vi en
stasjonær tidsrekke. Erfaring viser
imidlertid at det vanligvis vil være nødvendig
å differensiere mer for å få stasjonæritet.
Dersom det er tidsrekker med
sesongvariasjoner, kan en kombinasjon
med differensiering på sesongbasis og på
observasjonsbasis være det rette.
Når tidsrekken er differensiert slik at den
er stasjonær, starter modellering av tidsrekken.
Når modellering er foretatt av
den differensierte tidsrekke, integreres
den slik at vi kommer tilbake til den opprinnelige
tidsrekken, og vi har da en
prognosemodell for den opprinnelige
tidsrekken. Det er denne prosessen som
står for “Integrated” i ARIMA modellene.
Hele navnet er AutoRegressive
Integrated Moving Average modeller.
11.6 Modellidentifisering
Ved å studere avhengighetsstrukturen i
tidsrekken kan en finne fram til den modellen
som passer best for tidsrekken.
Opplegget som brukes her er noe av det
genuine i Box-Jenkins metode. Dette
kalles modellidentifikasjon.
Avhengighetsstrukturen i tidsrekken
beskrives ved autokorrelasjoner og partielle
autokorrelasjoner. Autokorrelasjoner
ble omtalt i kapittel 7. De angir avhengigheter
mellom observasjoner som ligger
i en gitt lengde fra hverandre. De partielle
autokorrelasjoner angir avhengigheter
mellom observasjoner som ligger i
en gitt lengde fra hverandre, gitt at de
mellomliggende observasjoner er kjente.
Enhver ARIMA har et entydig distinkt
mønster i autokorrelasjoner og partielle
autokorrelasjoner. Det er disse mønstrene
som hjelper oss til å bestemme hva slags
modell vi har og hvor mange autoregressive
og glidende gjennomsnittsparametere
vi skal ha i modellen.
11.7 Estimering av parametrene
Når modelltype og antall parametere i
modellen er bestemt, må verdien på parametrene
bestemmes. Dette gjøres ved
bruk av en ikke-lineær estimeringsmetode
som minimerer variansen til
støyleddene. Dette er ekvivalent med at
det finnes verdier på de ukjente parametrene
som gir best mulig tilpasning
mellom modellen og de faktiske observasjonene.
Etter at modellen er estimert, undersøkes
det om den framkomne modellen
beskriver tidsrekken tilfredsstillende. Her
finnes det en rekke ulike tester som
benyttes. Dersom testene ikke gir tilfredsstillende
resultat, gjentas prosessen
med modellidentifikasjon og estimering
av parametrene eventuelt flere ganger.
11.8 Prognoser
Etter at modelleringen er sluttført, lages
det prognoser. Prognosene er basert på
den modellen som er utviklet. Framskrivningen
skjer ved estimering av støyledd
og tilpasningen til de aktuelle observasjoner.
Som nevnt kan ARIMA-modellen
bygges ut ved inklusjon av ekstra forklaringsvariable.
Disse modellene kalles
transfermodeller. Det henvises til faglitteratur
på området for en mer detaljert
innføring.
12 Kalmanfiltermodeller
12.1 Generell beskrivelse
I 1960 publiserte Kalman dynamiske
lineære modeller og Kalmanfilteret som
viste seg å være grunnleggende for hele
regulerings- og kontrollteorien [33]. Det
førte nærmest til en revolusjon innen
området.
Det har også vist seg at de samme type
modeller kan brukes innen prognostisering.
Et grunnleggende arbeid her er
artikkelen til Harrison og Stevens,
Bayesian forecasting, i 1976 [34].
Det er vanskelig å kunne beskrive denne
teknikken godt uten å gi et sett med
formler. Generelt kan det sies at de
dynamisk lineære modeller er en meget
vid klasse av modeller. Modellklassen
inneholder eksempelvis både regresjonsmodeller,
glattingsmodeller og tidsrekkemodeller.
I modellklassen forutsettes det at verdien
på de parametere som inngår vil kunne
endre seg med tiden (derav ordet dynamisk).
I glattingsmodellene som er presentert
tidligere, ser vi at parametrene endrer
seg med tiden – etter hvert som vi foretar
oppdateringen. Dermed vil en glattingsmodell
kunne beskrive en utvikling der
veksten etter hvert endrer seg. I regresjonsmodeller
kan vi ikke det. Hvis vi
har en modell y = a + bt, vil verdien på a
og b være de samme uavhengig av tiden.
Dette er da en lineær modell som ikke er
dynamisk.
Populært kan Kalmanfilteret forklares på
følgende måte: Vi har et sett med parametere
som angir tilstanden til tidsrekken
(eller til prosessen). Ved tidspunkt t har
vi et sett med verdier på parametrene.
Når vi så mottar ny informasjon om tidsrekken
ved tidspunkt t + 1, skal verdien
på alle parametrene oppdateres. Legg
merke til at det samme gjøres også i
andre prognosemodeller når vi får inn ny
informasjon. Her brukes da Kalmanfilteret
til oppdateringen.
Vi kaller innovasjonen for differansen
mellom de observerte verdier og de predikerte
verdier. Disse kan også kalles
prognosefeil, og de vil være et korrektiv
til prognosen (predikeringen). Er differansen
positiv, har prognosen vært for lav
og vice versa. Kalmanfilteret vil være et
tall eller et sett med tall (matrise) som
brukes til å gi innovasjonene vekt. Den
fundamentale formel for oppdatering av
parameterverdiene er gitt ved:
43