Prognosemetoder – en oversikt - Telenor

90
ingsprosedyre som skal iterere seg frem
til estimerte verdier.
Tar vi med alle forklaringsvariablene vil
utgangspunktet for modellen være:
TS t = β 0 + β 10 P t + β 11 P t-1 + β 12 P t-2
+ β 13 P t-3 + β 14 P t-4 + β 2 AB t
+ β 3 T t + β 4 Vdag t + β 52 S2 t
+ β 53 S3 t + β 54 S4 t
(2.1)
hvor
TSt = etterspurt volum tellerskritt i
periode t
Pt-i = realpris i periode t, i = 0, 1, 2, 3,
4.
ABt = innkoblede abonnement i periode
t
Tt = tiden i periode t
Vdagt = antall virkedager i periode t
Sjt = dummyvariabel for sesong j, periode
t
β 0 , β 1i (i = 1, 2, 3, 4), β 2 , β 3 , β 4 , β 5j (j
= 2, 3, 4) er parametere som skal
estimeres.
Etter at regresjonsanalysen er foretatt, vil
det vise seg om noen av de aktuelle variablene
ikke får signifikant innvirkning.
Da skal de i utgangspunktet utelates fra
modellen.
Ser vi f eks på β10 angir den hvor mye
volum tellerskritt endrer seg med når
realprisen i den perioden prisen gjelder
endrer seg med en enhet, cet. par., dvs
den er den partielt deriverte av TSt mhp
Pt . For å få frem korttids priselastisiteten
for denne perioden kan vi da multiplisere
med Pt og dividere med TSt . Vi har altså
at korttids priselastisiteten er gitt ved
β10 * Pt /TSt (2.2)
Mens β 10 er en konstant (punkt-estimat)
ser vi at priselastisiteten er avhengig av
forholdet mellom P t og TS t og vil derfor
variere over tid.
Hvis effekten av en prisendring har slått
tilnærmet fullt ut i etterspørselen etter
volum tellerskritt etter 4 perioder, har vi
at langtids priselastisiteten er gitt ved
4
β1i ∗P t−i / TS ∑
t
i=0
(2.3)
På samme måte angir β 2 , β 3 og β 4 hvor
mye volum tellerskritt endrer seg når hhv
abonnement, tid og virkedager endrer seg
med en enhet, og det kan her også
beregnes elastisiteter. β 5j (j = 2, 3, 4) sier
hvor mye sesongutslagene utgjør i forhold
til 1. kvartal.
2.2.2 Loglineær modell
Denne type modeller er i utgangspunktet
ikkelineære. Det er imidlertid ofte mulig
ved bruk av en logaritmisk transformasjon
å overføre den opprinnelige modellen
til en lineær form.
Ofte vil begrunnelsen for valg av en slik
modellform ligge i observasjon og teori
for en variabels utvikling: En eksponentiell
utvikling kan f eks beskrives ved en
eksponential-funksjon eller en funksjon
der variablene inngår multiplikativt. En
mye brukt variant er hentet fra økonomisk
teori om bedriftenes tilpasning. Der
benyttes en såkalt Cobb-Douglas produktfunksjon,
hvor variablene (og konstanten)
inngår multiplikativt med parametrene
som eksponenter. Dette er overførbart
til vårt eksempel og gir følgende
modell når vi innlemmer alle de
relevante forklaringsvariablene:
TS t = β 0 * P t β 10 * P t-1 β 11 * P t-2 β 12
* P t-3 β 13 * Pt-4 β 14 * ABt β 2
* T t β 3 * Vdagt β 4
* e (β 52 S2 t + β 53 S3 t + β 54 S4 t ) (2.4)
hvor e er grunntallet i eksponentialfunksjonen.
Også her vil det bli reduksjon i modellen
etter at regresjonsanalysen er foretatt og
kun de signifikante variable er inkludert.
I praksis gir ofte en slik utforming av
etterspørselsfunksjonen en bedre tilpasning
til data enn den lineære. Spesielt
gjelder dette i tilfeller hvor vekst og
sesongutslag er økende. Ofte kan
imidlertid dette være vanskelig å avgjøre
i utgangspunktet, og derfor prøves begge
funksjonsformer for å se hvilken som gir
best resultater.
En transformasjon over til lineær form i
parametrene gjøres ved å ta logaritmen til
(2.4). Det gir følgende:
lnTSt = lnβ0 + β10lnPt + β11lnPt-1 + β 12 lnP t-2 + β 13 lnP t-3
+ β 14 lnP t-4 + β 2 lnAB t
+ β 3 lnT t + β 4 lnVdag t
+ β 52 S2 t + β 53 S3 t
+ β 54 S4 t
(2.5)
Elastisiterer vi TS t mhp P t direkte i (2.4)
gir dette β 10 , som er korttids priselastisiteten.
I denne utformingen av
etterspørselsfunksjonen er altså korttids
priselastisiteten konstant, og gitt direkte
ved denne parameteren. Langtids priselastisiteten
er da gitt som
4
β ∑ 1i
i=0
(2.6)
2.2.3 Ikkelineær regresjonsmodell
I denne artikkelen er det ikke nødvendig
å se på ikkelineære modeller fordi vi får
meget god tilpasning med de prognosemodeller
som vi har valgt ut. Dersom en
kan unngå ikkelineære modeller, så er det
en fordel. Det er her en risiko for at
estimeringsprosessen kan havne i lokalt
og ikke globalt minimumspunkt – noe
som vil føre til faktisk feil resultater.
2.2.4 Veiet regresjonsmodell
I de tilfeller hvor variansen til støyleddet
øker eksempelvis med tiden, kan det være
aktuelt å ta en logaritmisk transformasjon
for å dempe denne økningen. Eventuelt
kan det være aktuelt å veie de enkelte
observasjoner etter et gitt mønster. En slik
metode kalles veiet regresjon. I det dataunderlaget
som er her, har det vist seg
unødvendig å foreta veiet regresjonsanalyse.
Før vi nå foretar selve modellbyggingen
med basis i de forklaringsvariablene som
er trukket frem, går vi igjennom de forutsetninger
som skal være til stede i regresjonsanalysen
og det verktøy som kan
brukes til utvikling av prognosemodellen.
3 Stokastisk utforming
– modellforutsetninger
i regresjon
Prosessen med utarbeiding av en prognosemodell
er godt beskrevet i [12]. De
fleste av de prinsipper for modellering
som gjennomgås der, benyttes i regresjonsanalysen.
Det fundamentale i modellbyggingsprosessen
er residualene. Arbeidet går kort
ut på å analysere residualene og ut fra
dette eventuelt komme frem med forslag
til forbedring av modellen. Residualet
ved tidspunkt t betegnes med et . Det er
definert som differansen mellom
observasjonen ved tidspunkt og den tilpassede
verdi som er den verdi som modellen
anslår ved tidspunkt t.
I regresjonsmodellene innfører vi en variabel
εt som også kalles støyleddet. Denne