Prognosemetoder – en oversikt - Telenor

1 og ved t med (1 - b) og summerer dette
med den tidligere glattede verdi som
multipliseres med b. Dette gir da følgende
uttrykk:
ˆ β t+1 =(1 − b)( ˆµ t+1 − ˆµ t )+ b ˆ β t
(10.7)
Figur 10.3 illustrerer prinsippene i Holts
modeller. Figuren viser hva som skjer
med oppdateringen av parametrene når vi
er i tidspunkt t i figuren og mottar en ny
observasjon y ved tidspunkt t + 1. Vi ser
at den observasjonen ligger høyere enn
prediksjonen av nivået og stigningen. Det
nye estimerte nivået ved tidspunkt t + 1
blir da liggende mellom den nye observasjonen
og det predikerte nivået. I
eksemplet i figuren har vi valgt a = 0,5,
slik at det estimerte nye nivået blir liggende
midt mellom de to nevnte punkter.
Likningene (10.6) og (10.7) er basert på
rekursive beregninger. Problemet er at
for å starte opp prosessen og samtidig
utnytte alle observasjonene, er det nødvendig
med noen startverdier. Måter å
gjøre dette på er enten å benytte noen
godt valgte subjektive verdier, eller å
bruke regresjonsanalyse for å finne verdiene
eller å foreta backcasting som betyr
at det lages prognoser omvendt vei på
tidsrekken. Ved å benytte en av disse
metodene finnes så startverdiene for de
rekursive beregningene.
Anta at vi kjenner observasjoner fram til
tidspunkt n. En prognose k tidsenheter
framover vil da være gitt som summen av
det nivået som vi har funnet ved tidspunkt
n og k multiplisert med den siste
stigningskoeffisienten (ved tidspunkt n)
som vi har beregnet. Det betyr at
prognosen blir gitt i form av en lineær
framskrivning.
10.3 Holt-Winters metode
Holt-Winters metode er som navnet
indikerer en utvidelse av Holts metode
basert på de samme prinsipper [26]. Forskjellen
er at denne metoden også modellerer
sesongmessige svingninger. Det er
her to hovedmodelltyper.
Additiv modell
Den additive modellen forutsetter at
sesongutslagene ikke påvirkes av nivået
på tidsrekken. Med andre ord: hvis etterspørselen
som reflekteres av tidsrekken
over en periode har øket eksempelvis til
det dobbelte, forutsettes det at de sesongmessige
utslagene ikke påvirkes av denne
økningen, men at virkningen av sesongutslagene
kan adderes inn i modellen.
Den additive modellen uttrykkes ved:
ˆy t+1 = ˆµ t + ˆ β t + ˆ S t
Her har vi følgende størrelser:
- Nivået, µ
- Stigningen, β
- Sesongutslaget, S.
(10.8)
Multiplikativ modell
Dersom det er grunn til å tro at sesongutslagene
vil øke etter hvert som observasjonene
øker i verdi, skal den multiplikative
modellen brukes. I svært mange tilfeller
er det grunn til å tro at dette er
riktig. Den multiplikative modellen er
gitt ved:
y t+1 =( ˆµ t + ˆ β t ) ˆ S t
(10.9)
Vi ser av likningen at vi får en multiplikativ
effekt av sesongutslagene.
Med hensyn til valg mellom den additive
og den multiplikative modell, vil det også
være mulig å benytte den additive modell
dersom observasjonene transformeres,
for eksempel ved bruk av en logaritmisk
transformasjon, slik som vist i kapittel 7.
I modellene vil det være et gitt sesongutslag
for hvert tidspunkt i sesongperioden.
Dersom vi har månedlige observasjoner,
vil vi ha 12 distinkte sesongkomponenter
som rekursivt oppdateres etter hvert som
vi får inn månedlige observasjoner. Det
introduseres imidlertid kun en ny glattingsparameter
c som vil gjelde for samt-
0.1
0.08
0.06
0.04
0.02
0
lige sesongutslag. Når vi får inn eksempelvis
en ny mars-observasjon, vil vi veie
dette utslaget og samtidig det tidligere
glattede mars-utslaget. Dermed får vi et
nytt oppdatert mars-utslag. Det samme
gjøres for alle måneder etter hvert som
nye observasjoner kommer inn.
Analogt oppdateres nivået og stigningen
til tidsrekken. Formlene blir noe utvidet i
forhold likningene (10.6) og (10.7). I tillegg
er det en randbetingelse om at
summen av sesongutslagene i den additive
modellen tilnærmet skal være lik 0,
og at multiplikasjonen av sesongutslagene
i den multiplikative modellen tilnærmet
skal være lik 1.
Beregning av optimale verdier på glattingsparametrene
a, b og c gjøres ved
bruk av en ikke-lineær optimeringsmetode.
Ikke alle programpakker har denne
muligheten. Televerket har en egenutviklet
programpakke med prognosemetoder
som har denne muligheten.
På samme måte som i Holts modeller kan
nå nivået, stigningen og tilhørende
sesongkomponenter ved siste observerte
tidspunkt n beregnes. Deretter lages
prognoser for framtidige tidspunkter basert
på de beregnede størrelser.
11 Tidsrekkemodeller
De tidsrekkemodeller som omtales her
kalles ARIMA-modeller, som står for
AutoRegressive Integrated Moving
Average modeller (på norsk: autoregress-
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39
Figur 10.2 Eksempel på vekter i en eksponentiell glattingsmodell a = 0,9
41