LOGI 2010 - LOGI - Scientific Journal on Transport and Logistics

11 th International <strong>Scientific</strong> Conference
<strong>LOGI</strong> <strong>2010</strong>
L
L
∑ x S V \ { v1} , S ≠ { 0/
},
E
R
⊆ E
R
( S ),
E
R
( S )
ij
≥ 1
( vi
, v j ) ∈E
( S )
nebo [ vi
, v j ] ∈E
( S )
≥ 0
ij
( liché číslo)
⊂ (1.11)
x a celočíselně ( v v ) ∈ E nebo [ v , v ] ∈ E)
i
, (1.12)
Podmínka vyváženosti (1.9) zajistí vyváženost množin hran indukvaných množinou
S ve smíšeném E-grafu. Podmínka (1.10) je nazývána kapacitní podmínkou a může být
vysvětlena následujícím způsobem. Jak je uvedeno výše, nejméně k ( S ) vozidel je potřebných
S
k obsluze celkových požadavků hran obsluhy z množiny E ( S ) E ( S )
j
R
∪
R
.
S
Každé vozidlo, které obslouží hranu z E ( S ) E ( S )
i
R
∪
R
projde řezovou množinu
E ( S ) dvakrát, jednou z S do V \ S a podruhé z V \ S do S . Celkový počet průchodů hran
bez obsluhy patřících do řezové množiny E ( S ) je tedy roven 2 k( S ) − E ( S ) . Samozřejmě,
že předchozí tvrzení platí jen za předpokladu, že 2 ( ) − ( ) > 0
j
k S E
R
S . Podmínka (1.62) je
nazývána podmínkou liché řezové množiny a je přímo odvozena z podmínky sudosti.
Kapacitní podmínky (1.61) je možné rozepsat i v orientované verzi. Celkový počet
průchodů řezovou množinou z V \ S do S je roven přinejmenším k ( S ), poté lze zapsat
orientovanou kapacitní podmínku:
R
∑
− ,
∑
( ) ( ) ( )
−
xij
+ xij
≥ k S − YR
S − X
R
S
[ v v ] Y ( S ) ( vi
v j )
i , j ∈
∈X
( S )
Celkový počet průchodů řezovou množinou z S do
přinejmenším k ( S ), pro opačný směr tedy platí:
(1.13)
V \ S je roven také
∑
+ ,
∑
( ) ( ) ( )
+
xij
+ xij
≥ k S − YR
S − X
R
S
(1.14)
[ v v ] Y ( S ) ( vi
v j ) ∈X
( S )
i , j ∈
Nicméně, podmínky (1.13) a (1.14) nebudou použity, protože jak lze dokázat, jsou
zahrnuty v podmínkách (1.9) a (1.10).
Výše uvedená matematická formulace problému není kompletní, protože může
poskytovat celočíselná řešení, která neodpovídají přípustnému řešení. Z tohoto důvodu je
nutné pro řešení dále použít metodu sečných nadrovin. Není známa žádná jiná matematická
formulace používající výhradně jedinou proměnnou x
ij
. Z existence jediné proměnné x
ij
v úloze ILP vyplývá fakt, že poskytuje informaci pouze o bezobslužných průchodech hran na
množině tras vozidel, ne však v jednotlivých trasách.
Metodou sečných nadrovin nazýváme postup řešení, který je založen na
opakovaném řešení úlohy LP a jejímž výstupem je přípustné celočíselné řešení úlohy ILP.
387