Оглавление - Московский центр непрерывного математического ...

Какподсчитать,сколькоклетокнашахматнойдоске?—172— 7.Кружоксмальчиками—последниеполгодаДимаобдумалмоёутверждениеипоразилменясовершеннонетривиальнымзамечанием:—Твойметодлучше,потомучтомойгодится не для всех чисел, а толькодлятех,которыеделятсяна4.(Имеется в виду, что 2n должноделитьсяна4.)Занятие74.Геометриячисел24ноября1983года(четверг).18 00 —19 00 (1час).Дима,Петя,Женя.Задание1.Фокус—лишняяклетка.Я показал ребятам известныйфокусспоявлениемлишнейклетки.Вэтомфокусе квадрат размером 8×8 (или) разрезается на4части:дватреугольникаидвачетырёхугольника,иизнихскладываетсяпрямоугольник5×13(рис.124).Всеоперациимыпроизводилифизически,т.е.рисовалинабумаге,разрезали,перекладывалиит.п.Попутнообсудилимножествополезныхвещей:чтотакоеквадратныйсантиметр,ичтоплощадь комнаты 8 см×8 см будетне8см 2 ,а64см 2 (или,какпыталисьсказатьребята,)ит.п.Видимо,представлениеоплощадиуженачинаетунихскладываться:хотяониинепонималипоначалу,очёмидётречь(когдаясталговоритьпроплощадь)инедогадывались,чтоплощадькомнатыполучаетсяпроизведениемсторон,новсёжепоявлениюлишнейклеткиоченьудивились.Секрета я им, конечно, не раскрыл.Я думал, что мы просто где-то ошиблисьвподсчётеимногоразпересчитывалразнымиспособами,ноничегонепомогало.—Дима.Оченьсмешнойбылмомент,когдаДимапринялсяподсчитыватьколичествоклетокнашахматнойдоске.Почему-тонаиболее естественный способсчёта,полоскамипо8клеток,емувголовунепришёл.Сначалаонсталсчитатьпоспирали(рис.125);естественно,после нескольких витков он сбился,пошёлненатулинию.Петяемунаэтоуказал,возникспор,ивитогеобазабыли,кудадвигатьсядальшеисколькоклетокужесочтено.Тогда Дима выбрал другой способсчёта—(рис.126).—Впервомуголке,—сказалон,—16 клеток (два раза по 8), во втором—дваразапосемьит.д.Япопыталсядовестидоконцаснимэторешение,чтобыполучитьвитоге16+14+12+...+4+2=72 клетки(хотявконцеужестановитсяочевидно,чтовместо4должноидти3,авместо2—1),нотутонсамзаметилошибку.Далее,идяпонечётнымчислам,т.е.рассматриваясумму15+13+11+...,мывспомнили,чтотакимобразомнаРис.124.Квадратплощади8·8=64разрезаетсяначасти,иизнихскладываетсяпрямоугольникплощади5·13=65.Откудавзяласьлишняяклетка?