Оглавление - Московский центр непрерывного математического ...

1.Первоезанятиеимысливокруг —29— ФеноменыПиажепеливождалшестогокласса,надеясь,что тогда-то и придёт долгожданноепросветление.Вшестомклассеянаписалформулуab=ba,долгоитупосмотрелнанеё,ноникакогопросветлениятак и не произошло. В девятомклассеяпопалвзнаменитыйКолмогоровскийфизико-математический интернатприМосковскомуниверситете.Программатамбылапродвинутой;мыдовольнобыстроперешликизучениюгрупп,полейиколец..Времяшло,ияещёслегкапоумнел.Японял,чтоаксиома-тоонааксиома,новвелиеёнепотому,чтокто-тотакраспорядился,непочьему-либокапризу,апотомучтоэтосвойствореальновыполняется при умножении натуральныхчисел.(Заметимздесьвскобках,что,например,возведениевстепень—т.е.—вовсенекоммутативно.Умножьте5самонасебя3раза,апотомумножьте3самонасебя5раз,ирезультатыполучатсясовершенноразличные.Авотдля почему-тополучаетсяодноитоже.)Иужнепомнюсейчас,когдаипочемуяосознал,чторечьидётпростоотом,чтобыпо-разномусосчитатьодноитожемножествопредметов.Мыберёмкамешковивыкладываемихвтрирядапопятьштук;аэтотожесамое,чтовыложитьихвпятьрядовпотриштуки—смотрячтосчитатьрядом(рис.9).Такзначит,всёделовтом,чтоеслиодниитежепредметысчитатьвразномпорядке,торезультатдолженполучитьсяодинитотже!И,значит,нетак-тоужэтосвойствоиочевидно,еслиегоосознаниепотребовалостолькихлетистолькихумственныхусилий.Ивзаключение—ещёоднасценка.Точнее,подслушанныйдиалог.Участниковдвое—мужижена;обапенсионеры,обоимоколо80лет.Поэтомуречьидвиженияперсонажейпроисходятвзамедленномтемпе.Женасобираетсяготовитьнаужиняичницу.Неожиданноепрепятствие:сковородка,вкоторойонаобычноэтоделает,осталасьнепомытойпослеобеда.—Митя,большаясковородкагрязная.Муж—соттенкомраздражения,таккакегооторвалиотегозанятий:—Сделайвмаленькой.—Такябоюсь,чтомалобудет...Муж — слегка поразмыслив надэтимобстоятельствомипожимаяплечами:—Тогдапомойбольшую.Акак жезакон сохранения количествавещества?!Оченьлегкосебепредставитьиныеобстоятельства. Тем же самым двумстаричкамдаётсяформальный.Вопрос:еслиразбитыеяйцаперелитьизоднойсковородкивдругую,тосодержимогостанет(а)больше;(б)меньше;(в)останетсястолькоже;(г)результатоперациизависитотразмерасковородок.Янискольконесомневаюсь,чтовэтомслучаеответбылбыправильным.Иэтонаводитнаразныевопросы,которыеядажезатрудняюсьотчётливосформулировать.Вопросы,во-первых,осоотношениимеждуформальновыученнымиреальноусвоенным.И,во-вторых,отом,вкакойстепенимывнашемповседневномповеденииРис.9.Здесь3горизонтальныхрядапо5кружковвкаждом,т.е.всего5·3.Номожнотакжеисказать,чтоздесь5вертикальныхрядовпо3кружкавкаждом,т.е.всего3·5.Есливеритьвто,чтокакнисчитай,получишьодноитоже,тоследуетзаключить,что5·3=3·5.