Оглавление - Московский центр непрерывного математического ...

8.Вшколеидома —181— Квадратплощадьюв2клетки(встолбик),азатемпроверялрезультатвдесятичнойсистеме.Занятиеэтоонсебепридумалсам.Умножал,скажем,10на100или1000на1000,апотомпроверял,получитсяли1000или,соответственно,1000000.Существенното,чтоонсовершенносамостоятельнопонял, как при сложении большогочислаединиц переносить ихсразувнесколькоразрядов().Ошибки,однако,допускал,забывая,чтовкакойразрядзапомнил.Яегонаучилперенесённыезнакизаписыватьснизу.Сегодняобсуждалисвязьдвоичнойсистемысвосьмеричнойисшестнадцатеричной.Он тожевсёпонял. Авотсравнитьповеличине 3 5 и 4 7 никакнеможет. Слишком формальный стильмышления:всёвремяпытаетсяпридумать,какиедействиянадосовершить,авсодержаниепонятияневдумывается.20февраля1984года.Квадратплощадьюв2клетки.(Снованакружке.)НаэтотразменяудивилПетя.Ядалтакуюзадачу:построитьквадратплощадьюровно в 2клеточки. СначалаДима пробовал 1+ 1 2(рис. 1302слева)и 1+ 1 2(рис.130вцентре);4обаразаправильноподсчиталплощадьипонял,что2неполучается. Яду-мал—вотясейчаспоражуребятсвоимрешением!НотутпочтитотчасжеПетявзял и нарисовал правильный ответ(рис.130справа)*.НадняхмысДимойобсуждалииррациональность√ 2.Онзадавалоченьразумныевопросы:—Значит,число √ 2−1тожетакое?А2 √ 2?Итомуподобное.Папамнерассказывалдоказательство,ноятакнепонял.Во-первых,ономнепоказалосьслишкомдлинным,а,во-вторых,яраньшеникогданевстречалдоказательствотпротивного.Предположили,чтодробьнесократимая,потомкак-тотуманновывели,чтовсё-такисократимая.Выводизэтогопочему-то,чтотакойдробинесуществует.—Дима.*Задачаоплощадяхоказаласьнеобычайнобогатой,ноболееподходящейдлядетейпостарше.В1989годувдетскомкомпьютерномлагеревПереславле-Залесскоммысгруппойребят10—14летпрозанималисьэтойтемойдвенедели.ОнасамасобойвывеланассначаланатеоремуПифагора,потомназадачуЭйлераотом,когдатреугольныечисларавныквадратным(нужно,чтобыизодногоитогожечислакамешковможнобылосложитьтреугольники квадрат), отсюда к уравнению Пелля(решитьвцелыхчислахуравнениеx 2 −2y 2 =1)и,наконец,кконкурсунанаибольшуюпифагоровутройкучисел(целыечислаa,b,cтакие,чтоa 2 +b 2 =c 2 ).Конкурсвыиграл,какнистранно,мальчикМитя9-тилет.Позже,помотивамэтихзанятий,Митязадалнамвопросотом,можнолисложитьизодногоитогожеколичествашаровпирамидуикуб.Этазадачасводитсяксовсемужсерьёзнойматематике,которуюдажевуниверситетенепроходят—карифметикеэллиптическихкривых.Посленекоторыхусилийодномуизпреподавателейудалосьнайтиссылкунастатьювнаучномжурнале,гдедоказывалось,чтокроме1такихчиселнет.Рис.130.Перваяпопытка(слева):сторонаквадратаравняется1 1 / 2,аплощадьскладываетсяизоднойцелойклетки,двухполовинокиещёоднойчетверти,т.е.равна2 1 / 4.Втораяпопытка(вцентре):сторонаравна1 1 / 4,аплощадьполучаетсяравной1+ 2 4 + 116 =1 916 .(Рассмотритесамиквадратсостороной1 1 / 3.)Наконец,площадьквадрата,показанногосправа,равняетсявточностидвумклеткам:видно,чтоонсостоитизчетырёхполовинокклетки,имеющихформутреугольника.