Оглавление - Московский центр непрерывного математического ...

2Кружоксмальчиками—первыйгодКакяужеупоминалнеоднократно,яначалвестикружоквмарте1980года,нозаписыватьсодержаниезанятийсталтолькосфевраля1981года.Первые20занятийутеряны,тутужничегонеподелаешь;собственнодневникначинаетсяс21-гозанятия.Важноепояснение.Ккаждомуиззанятийпредпосланзаголовок;ноегонеследуетвосприниматьслишкомсерьёзно.Назанятииобычнобывалонесколькоразныхзадач,азаголовокотражаетлишьоднуизних,чащевсегооснованнуюнановойидееилипримечательнуюпо какой-то иной причине. Иногда,впрочем,онсвязанвообщенесзадачей,аскаким-топроисшествиемилиновымповоротомсобытий.Занятие21.ЛистМёбиуса4февраля1981года(среда).10 30 —11 00 (30мин.).Дима,Петя,Женя,Андрюша.Задание1.Наихглазахразрезаллистна4полоски,изкоторыхмысклеили(смоейпомощью)4листаМёбиуса.Длячитателя-нематематикадолженпояснить,чтотакоелистМёбиуса.Есливзятьузкуюдлиннуюполоскубумагиисклеитьеёконцами,тополучитсяцилиндр:онпоказаннарис.10слева.Еслижепредварительноперевернутьодин из концов на 180 ◦ , получитсяфигура,показаннаянатомжерисункесправа.ОнаиназываетсялистомМёбиуса.Уцилиндраестьдвеповерхности—внешняяивнутренняя;ихможно,например,покраситьвдваразныхцвета.АвотулистаМёбиусатолькооднаповерхность.Попробуйтезакраситькаким-нибудьцветомеговнутреннююсторону—ивынезаметноперейдётенавнешнюю.Себе склеиваю обычный цилиндр(длясравнения).Двамуравьясоревнуются— у кого домик интереснее(иликтосумеетто-тоито-то).Наодномизлистов(Димином)показываю,какмуравейползпооднойстороне,апопалнадругую.Надругом(Женином)показываю,какмуравейползпокраюиоказалсянадругомкраю.[Надобылоболеемедленноиспокойнодатьимубедиться(каждомунасвоёмлисте),чтоестьвсегооднасторонаивсегоодинкрай.]Разрезаюпосреднейлиниицилиндр,затемлистМёбиуса.Обаразапрошуугадать,чтополучится.Потомполученнуюштукусноваразрезаюпосреднейлинии,опятьпрошуугадать.[Вовторойразвместосреднейлинииможнорезатьнарасстоянии1/3шириныоткрая:вэтомслучаезацеплениелучшевидно.]Показываю шарик, как он склеениздвухполовинок;объясняю,чтокрайисчезает. Потом показываю, как издвухрезиновыхтрубоксклеиваетсятор(унеготоженеткрая).Рассказываю,чтобудет,еслисклеитьдвалистаМёбиусапокраю(краянебудет,номожноперейти с внешней стороны на внутреннюю).Впечатлениянепроизводит.Рассказываюпромолоко,котороебыловнутри,асталоснаружи.—Нуичто?Простопролилось.[Надобылосказать,чтоприэтомононигденепереливалосьчерезкрай,таккакникакогокраявообщенет.]Задание2.Сколькостоитбилетвметро,вавтобусе,втроллейбусе,втрамвае?*Какиеавтоматыстоятвметро?(Принимаюттолькопятакиипропускаютвнутрь.Билетоввметронебывает.)Какиеавтоматыбываютвавтобусе?(Пятькопееквлюбомнаборе—билет.)Теперьнамсваминадосложитьпятькопеек самыми разными наборами.*Боюсь,чточитателиужезабыли,сколькостоилибилетывтуэпоху:автобусиметро—5копеек,троллейбус—4копейки,трамвай—3копейки.