Оглавление - Московский центр непрерывного математического ...

3.ДетииC 2 5:историяоднойзадачи —67— Доказательствас,однаизнихслучайноперевернуласьна180◦ .Врезультатеодноизпрежнихрешенийпропало,адругое,емусимметричное,оказалосьповторённымдважды.Мыедванезапутались.Яхотелсказать,чтоонаперевернулась,ноне стал, так как думал, что, может быть, этовсёравно.—Дима.Почему-товсеребятакакодинбылиубеждены,чтонедостающийвариантобязательноокажетсяпоследним.Темнеменеетотфакт,чтоонвышелужечетвёртым,нисколькоихнеобескуражил.Ониположилишарикивсоответствиисэтимновымвариантом,продиктовалимнерисунокдесятойстрочки,апотомразложилиостальныебусы—каждыексвоемурисунку.Аязакончилзадание с чувством абсолютноготриумфатора.То,чтопроизошлосегодня,кажетсямнекрайневажным.Мынепросторешилизадачу.Мырешилиеёпутёмсвед´ениякдругой,изоморфнойейиужеранеерешённойзадаче.Это—важнейшаяобщематематическаяидея,иразвенечудо,чтонашёлсятакойматериал,накоторомэтуидеюудалосьпродемонстрироватьшестилеткам?Дактомужетак,чтоонисамидонеёдодумались!ДоказательстваСобытиянанашемкружкеменяютсясголовокружительнойбыстротой.Неуспелимыразобратьсясоднойвеликойидеей,кактутженаподходедругая.Как-то сам собой возникает вопрос:почемукаждыйразполучаетсяровно10решений?Ихвсамомделебольшенесуществует,илимыпростонесумелиихнайти?Как доказать, чтоихвсегодесять?Итак, доказательство. Центральноепонятиедлявсейматематики,ябыдажесказал—формообразующее,выделяющеематематикуизвсехдругихнаук.Представлениеотом,чтоявляетсядоказательствомичтонеявляется,эволюционировалонапротяжениивековиобрелосовременныйвидлишьприблизительно на рубеже XIX—XXвеков.Математикампрошлыхэпох,дажесамымвеликим,казалисьвполнеубедительнымитакиерассуждения,которыесейчасснегодованиемотвергнетлюбойшкольныйучитель.Есливдуматься,мыимеемделосоченьстраннымявлением.Почемукакие-тоабстрактныеипоройсовершеннорассужденияделаютдлянастоилииноеутверждениеболееубедительным?Одиноченьумныйстаршеклассникзадалучителютакойвопрос:—То,чтовравнобедренномтреугольникеуглыприоснованииравны,совершенноочевидно—можноубедитьсянапримерах.Темнеменеенамэтотфактдоказывают.Сдругойстороны,то,чтоэлектрическоенапряжениеравносилетока,умноженнойнасопротивление,нискольконеочевидно.Однакоэтотфактнампочему-тонедоказывают,атолькоиллюстрируютопытами.Почему?Такойвопрос—редкость.Большинствошкольниковвоспринимаютдоказательствакакнекийпринятыйвматематикеритуал. В математике такполагается,ивсётут.Кактутневспомнитьодинисторическийанекдот,относящийся,кажется,кXVIIIвеку.Одинчеловек,бравшийурокиматематики,будтобысказалсвоемуучителю:—Кчемувсеэтитуманныерассуждения!Ведьвыжедворянин,иятоже.Дайтемнечестноеслово,чтотеоремаверна—мнеэтоговполнедостаточно.Но не то же ли самое происходитснами,когдамычитаем,скажем,учебникистории?Никакихдоказательств,одни лишь :былотак,былотам,былотогда.Точка.Ивотоказывается,что—вданномслучаеавтораучебника—вполнедостаточнодлятого,чтобывсемуповерить.Насамомделекаждодневная работа математика нетак ужсильноотличается от работыисторика.Этоиллюзия—полагать,чтоматематикнаходитдоказательствоина