Оглавление - Московский центр непрерывного математического ...

4.Кружоксмальчиками—второйгод —95— Каклучшесложить?мозаикуоднуфишку,аочереднойизмальчиковдолженбылпоставитьвсесоответствующиеейфишки,чтобыполучиласьснежинка(т.е.еслиисходнаяфишкабыланалуче,тонадобылодостроитьещё5,аеслиненалуче,тоещё11,рис.69).Цвет,естественно,тожеучитывался.ДимаиПетяделаливсёправильно,аЖеняпочему-товсёвремядопускалоднуитужеошибку.Витогеихдеятельностиполучиласьдовольнокрасиваяразноцветнаяснежинка.Следуетобратитьвниманиенанечёткуюпостановкузадачи:. Для меня это донекоторойстепени—вопроспринципа.Чёткаяиточнаяпостановкапотребовалабыразговоровоповоротах,осразумногихосяхсимметрииичутьлинеогруппеавтоморфизмов,идетивсёравнобыничегонепонялиинезапомнили.Разумныйрежимработы—этокогдапонимание условия и необходимыеуточнениякнемуприходятвпроцессерешения.Нетаклиработаетматематикисследователь?Окончательнаяформулировказадачистановитсяяснойлишьтогда,когдазадачанаконецрешена.Задание3.Ассоциативность(икоммутативность)сложения.Ясказалребятам,чтокогдаонипойдутвшколу,они там будут учиться считать, нои сейчас уже... Они меня перебилиисталикричатькаждыйсвоё:Петя: А я уже умею, но толькодоста.Женя: Аятолькопочасам.Дима: Аяумеюсчитатьдооченьбольшихчисел,толькоянепробовал.Поконтекстуяпонял,чтоониподсловомпонимаютпоследовательноеперечислениечисел:раз,два,три...Ясказал,чтоониещёнемножкоумеют складывать и умножать.Выяснилось,чтоПетяиЖенянезнают,что значит.Яобъяснил,чтоэтозначитскладыватьмногоразодинаковыечисла,ипривёлпример.Носамоеинтересное,продолжаля,непросто складыватьиумножать,азнатьнекоторыеудивительныесекретыпросложениеиумножение.Ивотодинизтакихсекретовявамсейчаспокажу.Послеэтогомырассмотрелидвапримера:5+6+7и6+8+2.Вкаждомиз них мы делали сложение тремяразличнымиспособами:сначалавыбиралидвачислаискладывалиих,затемксуммеприбавлялитретьечисло.[Надо было начать с коммутативности.]Каждыйразполучалосьодноитоже.Яспросилуребят,почемутакполучается,ивсегдалибудетодноитоже.Безвсякогоудивленияониответили,чтовсёэтопотому,чтомыскладываемодниитежечисла,ичтотакбудетвсегда.Яназвалтриоченьбольшихчисла,одноизнихсмиллионами,испросил,уверенылиони,чтодлятакихбольшихчиселтожевсёбудетправильно.Мальчикисогласились,чтодлятакихчиселэтоможетоказатьсяинеправильным.Тогдакакжевсё-такиобъяснитьсовпадениерезультатовунас?Петясноваповторил тот же аргумент: мы складываемодниитежечислаи,значит,делаемодноитоже.—Какодноитоже?—возмутилсяя.—Смотри,здесьмысначалаполучаем11икнемуприбавляем7,аздесьсначалаполучаем 13,акнемуприбавляем5!—Нуичто?—ответилПетя.Амнетакхотелось,чтобыониудивились!Тогдаязашёлсдругогоконца.—Ачто,—спросиля,—еслимыделаемодниитежедействиявразномпорядке,всегдаполучитсяодноитоже?—Да,—сказалПетя.—Нусмотри,Петя,—сказаля.—Допустим,чтотебенужнонадетьноски,валенки и галоши. Если ты сначаланаденешьноски,потомваленки,апотомгалоши,товсёбудетхорошо.(Кивок.)—Нуаеслитынаденешьсначалагалоши,потомваленки,апотомноски?Раздалсягромкийхохот,имальчикисталинаперебойсочинять,чтоещёможнонеправильнонадеть.