PHOTONIQUE POUR LES LASERS À CASCADE QUANTIQUE ...

tel-00740111, version 1 - 9 Oct 2012
7.2 . ÉLECTROMAGNÉTISME : UN PROBLÈME AUX VALEURS PROPRES
deux intégrations par partie successivement (théorème de Green Ostrogradski)
:
〈
f|Θg〉 = f ∗ (r) ·
1
∇ ∧
ɛ(r)
∇ ∧ g(r)
∇
= ∧ f ∗ 1
(r) ·
ɛ(r)
∇ ∧ g(r) + Surf1
1
=
ɛ(r) ∇ ∧ f ∗
(r) · ∇ ∧ g(r) + Surf1
= ∇
1
∧
ɛ(r) ∇ ∧ f ∗ (7.4)
(r) ·g(r) + Surf1 + Surf2
où Surf1 et Surf2 correspondent à des éléments de surface :
Surf1 =
f ∗
1
(r) ∧
ɛ(r)
∇ ∧ g(r) · dS (7.5)
Surf2 =
∂V
∂V
1
ɛ(r) ∇ ∧ f ∗
(r) ∧ g(r) · dS (7.6)
où ∂V est la surface du volume considéré pour l’intégration. Surf1 et Surf2
vont être nuls pour une des deux raisons suivantes :
– Soit on considère une structure non périodique, les champs vont
alors s’annuler à l’infini. On choisira alors comme volume d’intégration
l’espace total, et alors Surf1 = Surf2 = 0
– Soit on étudie une structure périodique, dans ce cas le volume d’intégration
correspondra à la cellule élémentaire. Comme on le verra
plus loin, les champs seront périodiques, et dans ce cas aussi les
intégrales de surfaces seront nulles. 10
Puisque ces intégrales de surface sont nulles, et en utilisant le fait que
la distribution spatiale de constante diélectrique ɛ(r) est réelle, l’équation
7.4 implique que :
〈 f|Θg〉 = 〈Θ f|g〉 (7.7)
Ainsi l’opérateur Θ est hermitien. Cela implique que :
– Les valeurs propres sont réelles et positives, c’est à dire que la fréquence
ω/2π est réelle.
– Si |h1〉 et |h2〉 sont deux vecteurs associés aux valeurs propres ω1 et
ω2, si ω1 = ω2 alors les champs sont orthogonaux : 〈h1|h2〉 = 0.
10 Pour être rigoureux dans le cas d’une structure périodique, les intégrales de surface
ne s’annulent que si l’on considère deux fonctions ayant le même vecteur de Bloch k.
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