PHOTONIQUE POUR LES LASERS À CASCADE QUANTIQUE ...

tel-00740111, version 1 - 9 Oct 2012
CHAPITRE 2 . THÉORIE ET MODÉLISATION DES TRANSITIONS
INTER-SOUS-BANDES
On peut alors réécrire l’équation 2.17 et en utilisant l’équation 2.15 :
W total
i→f(spo) = πe2 |zi→f| 2
ɛV
= e2 |zi→f| 2 nω 3 if
3πɛ0c 3
ωqsin 2 θδ(Ef − Ei + ωq)P (q)q 2 dqsinθdθdφ
(2.20)
n est l’indice de réfraction et ωif est la différence d’énergie entre la sousbande
finale et initiale.
Dans les lasers à cascade quantique dans le THz, le dipôle est de
l’ordre de quelques nanomètre. À 3 THz et pour un dipôle de 5 nm, on
obtient la durée de vie d’émission spontanée égale à τ spo ≈ 15 µs. Ce
temps est très long en comparaison aux autres temps de transitions, ainsi
l’émission spontanée n’aura un rôle que très limité.
La variation de la fréquence à la puissance trois dans le taux d’émission
spontanée, explique pourquoi le temps d’émission spontanée est aussi
long. Dans l’infrarouge moyen le taux d’émission spontanée sera un peu
plus grand, mais reste néanmoins négligeable.
Plus loin, nous étudierons différentes cavités optiques dont la taille ne
peut plus être supposée beaucoup plus grande que la longueur d’onde.
Le taux d’émission spontanée sera augmenté d’un facteur de Purcell [35],
mais restera néanmoins très faible par rapport aux autres phénomènes
mis en jeu.
2.3.3 Émission stimulée
Il est pratique d’introduire la densité spectrale d’énergie ρ(ν) (en Jm −3 /Hz).
La relation qui lie la densité spectrale d’énergie au nombre de photons nνi
de fréquence νi est (on rappelle que l’on est toujours dans une cavité de
volume V, les fréquences permises sont donc discrètes, et d’indice i, dans
ce cas ρ(ν) va être une série de pic de Dirac) :
νi+1/2
ν i−1/2
ρ(ν)dν = 1
nνihνi (2.21)
V
où V est toujours le volume de la cavité, νi−1/2 correspond à la fréquence
médiane entre νi et νi−1. En faisant ce choix on a bien l’intégrale sur toutes
les fréquences de ρ(ν) qui est égale à l’énergie volumique totale.
Intégrons maintenant le taux de transition d’émission stimulée obtenu
plus précédemment (on suppose pour simplifier que le champ électrique
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