PHOTONIQUE POUR LES LASERS À CASCADE QUANTIQUE ...

tel-00740111, version 1 - 9 Oct 2012
CHAPITRE 7 . CRISTAUX PHOTONIQUES, THÉORIE ET MODÉLISATION
les mêmes que dans les articles [110, 111]) 12 . La structure de bande peut
être calculée de manière analytique, et elle est donnée par les solutions
de la relation de dispersion [111] :
cos(kd)4n1n2 =(n1 + n2) 2
ω
cos
c (an1
+ bn2)
− (n1 − n2) 2
ω
cos
c (an1
(7.22)
− bn2)
La figure 7.3 représente la structure de bande ainsi calculée pour des
indices n1 = 1 et n2 = √ 2, et de largeurs a et b telles que an1 = bn2
(paramètres de l’article [110]).
On peut alors calculer la vitesse de groupe [110] en dérivant la relation
de dispersion [111].
vg
c
α β
( + n1 n2 = )16n2 1n2 2 − [(n1 + n2) 2cos(2π(α + β)) − (n1 − n2) 2cos(2π(α − β))] 2 )
(n1 + n2) 2 (α + β)sin(2π(α + β)) − (n1 − n2) 2 (α − β)sin(2π(α − β))
(7.23)
où α = an1ω/(2πc) et β = bn2ω/(2πc) sont des paramètres sans dimension
qui mesure l’épaisseur des couches en fonction de la longueur d’onde
dans le vide λ = 2πc/ω. La figure 7.3 illustre ce phénomène, lorsque l’on
se rapproche du bord de bande, la vitesse de groupe diminue jusqu’à s’annuler
au bord de bande.
α = d / λ
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
(a) (b)
0
−0.5−0.25 0 0.25 0.5
kd / 2π
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0
v / c
g
FIG. 7.3: (a) Structure de bande photonique pour une structure
unidimensionnelle composée de deux matériaux d’indice n1 = 1 et
n2 = √ 2, de largeur a et b, vérifiant an1 = bn2. La largeur d’une période
est d = a+b. Le panneau (b) représente la vitesse de groupe vg
normalisée par la vitesse de la lumière. La droite verticale en pointillé
correspond à la vitesse obtenue en utilisant un indice moyen.
12 Les miroirs de Bragg sont un exemple de structure de ce type.
149
α = d / λ