PHOTONIQUE POUR LES LASERS À CASCADE QUANTIQUE ...

tel-00740111, version 1 - 9 Oct 2012
CHAPITRE 3 . LES GUIDES D’ONDE
matrices T et Q sont des matrices infinies. La matrice T est une matrice
diagonale et ne pose donc pas de problème. Quant à la matrice Q, ces
éléments non diagonaux, sont composés du couplage des transformées
de Fourier des modes propres et d’un terme 1/ky. Sans le terme 1/ky ces
éléments sont nuls (à cause de l’égalité de Parseval qui implique que si
deux fonctions sont orthogonales, leurs transformées de Fourier seront
aussi orthogonales). Ainsi les termes non diagonaux vont être petits en
comparaison des termes diagonaux. Limiter le nombre de mode utilisés
correspond à limiter le couplage entre les modes à un nombre fini. Souvent
un seul mode suffit à donner une bonne approximation de la réflectivité.
Dans le cas d’un guide métal-métal (parfait), d’épaisseur L les modes
sont donnés par :
em = cos((m − 1)π(z/L + 1/2)) (3.115)
En faisant quelques changements de variables, on peut écrire les matrices
T et Q sous la forme :
−1/2
(m − 1)π 1
Tmm = 1 − ∗
nARkL 1/2
m=1
m=1
(3.116)
Qnm = kL
2nAR
1 1
0
0
cos (n − 1)πu cos (m − 1)πv
h (2)
0
kL(u − v) dudv
(3.117)
où h (2)
0 est la fonction de Hankel du deuxième type d’ordre 0 (les fonctions
de Hankel sont des combinaisons linéaires des fonctions de Bessel h (2)
0 =
J0 − iY0).
On peut alors facilement calculer la réflectivité des facettes d’un guide
double métal parfait. Même dans le cas ou l’on se limite à un seul mode,
c’est à dire que Q et T sont des variables scalaires, on obtient des résultats
très proches de ceux obtenus en utilisant plusieurs modes. Les résultats
de la figure 3.8 et du tableau 3.3 ont été obtenus en utilisant 10 modes.
Cette méthode est très efficace pour calculer rapidement la réflectivité
des facettes d’un guide quelconque. En effet le couplage entre les
modes est souvent faible, et donc l’utilisation d’un seul mode pour les calculs
donne des résultats très satisfaisant. Dans le cas d’un mode pas trop
confiné (c’est faux pour le mode double métal), les éléments diagonaux de
la matrice Q et T se simplifient en :
Qmm ≈ k0
ωµ0
Tmm ≈ k0
ωµ0
|em| 2 dz
|em| 2 dz
neff,m
83
(3.118)