PHOTONIQUE POUR LES LASERS À CASCADE QUANTIQUE ...

tel-00740111, version 1 - 9 Oct 2012
7.2 . ÉLECTROMAGNÉTISME : UN PROBLÈME AUX VALEURS PROPRES
Réseau de Bravais et maille primitive
On appelle réseau de Bravais un ensemble de points auxquels on associe
un vecteur position R de la forme [31] :
R = n1 a1 + n2 a2 + n3 a3
(7.9)
où n1, n2 et n3 sont des nombres entiers et a1, a2 et a3 sont trois vecteurs
de l’espace qui n’appartiennent pas tous au même plan. Les vecteurs ai
sont appelés vecteurs primitifs.
On peut définir de la même façon un vecteur de Bravais pour un espace
à N-dimensions, il y aura alors N vecteurs primitifs.
On appelle maille primitive un volume de l’espace, qui par translation
par tous les vecteurs du réseau de Bravais, remplit complètement l’espace
total, sans superposition et sans recouvrement. La maille primitive n’est
pas unique pour un réseau de Bravais donné (cf fig. 7.1).
Il existe un maille primitive particulière : la maille primitive de Wigner-
Seitz. Pour la définir, on choisit un noeud particulier P du réseau de Bravais,
la maille primitive de Wigner-Seitz est définie comme tous les points
de l’espace qui sont plus proches de P que de tous les autres noeuds du
réseau de Bravais.
x x
x x
a2 a1 x x
x x
x x
x x
x x x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x x x
FIG. 7.1: Réseau de Bravais bi-dimensionnel. Chaque croix correspond
à un point du réseau de Bravais. Les vecteurs primitifs a1 et a2
sont représentés. Le parallélogramme et l’hexagone correspondent
à deux exemples de mailles primitives possibles. La maille primitive
de Wigner-Seitz est l’hexagone rouge.
Le réseau réciproque
La définition du réseau réciproque d’un réseau de Bravais est la suivante
: tout vecteur K appartient au réseau réciproque, si et seulement si
il vérifie la relation pour tout vecteur R du réseau de Bravais :
e i K · R = 1 (7.10)
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