PHOTONIQUE POUR LES LASERS À CASCADE QUANTIQUE ...

tel-00740111, version 1 - 9 Oct 2012
3.3 . LE GUIDE PLASMONIQUE
Il faut faire attention, cette équation ne peut pas se simplifier par √ ɛ1 + ɛ2
car √ AB = √ A √ B. Dans le plan complexe la racine carré est défini
comme :
√
√r iθ/2 e si θ ∈ [−π, π] modulo 4π
reiθ = √ (3.55)
iθ/2+iπ r e si θ ∈ [π, 3π] modulo 4π
c’est à dire que la partie réelle de √ z est toujours positive.
Afin de comprendre ce que l’équation 3.54 signifie, il faut se rappeler
qu’avec la convention de variation temporelle utilisée (H ∝ e −iωt ), la partie
imaginaire de l’indice est positive (le gain peut éventuellement engendrer
une valeur négative de la partie imaginaire, mais cette valeur sera faible,
et ne modifie par le raisonnement). Ainsi en notation polaire l’argument
complexe de l’indice est compris entre 0 et π/2 :
n = |n|e iθ
ainsi la constante diélectrique vérifie :
ɛ = |ɛ|e iθ
θ ∈ [0, π/2] (3.56)
θ ∈ [0, π] (3.57)
Pour les matériaux 1 et 2, nous utiliserons les notations suivantes :
et on pose
ɛ1 = |ɛ1|e iθ1 θ1 ∈ [0, π]
ɛ2 = |ɛ2|e iθ2 θ2 ∈ [0, π]
(3.58)
ɛ1 + ɛ2 = |ɛ1 + ɛ2|e iθ12 θ12 ∈ [0, π] (3.59)
(θ12 est forcément compris entre θ1 et θ2). L’équation 3.54 se réécrit alors :
e i(θ1−θ2+π) =
Premier cas : Re(ɛ1) < 0 et Re(ɛ2) < 0
√ e i(2θ1−θ12−π)
√ e i(2θ2−θ12−π)
(3.60)
Nous allons chercher les conditions d’existences des solutions de 3.54,
en utilisant différents cas possible pour le signe de la partie réelle des
constantes diélectriques. Supposons que Re(ɛ1) < 0 et Re(ɛ2) < 0, c’est à
dire que
(θ1, θ2, θ12) ∈ [π/2, π] 3
pour Re(ɛ1) < 0 et Re(ɛ2) < 0 (3.61)
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