PHOTONIQUE POUR LES LASERS À CASCADE QUANTIQUE ...

tel-00740111, version 1 - 9 Oct 2012
CHAPITRE 2 . THÉORIE ET MODÉLISATION DES TRANSITIONS
INTER-SOUS-BANDES
Ce rapport est égal à un tiers de celui généralement obtenu. Le facteur 3
vient du fait que les transitions inter-sous-bandes ne se couplent qu’avec
une seule composante du champ électrique. Le nombre de possibilités
d’émission spontanée est donc réduit d’un facteur 3.
2.3.5 Gain inter-sous-bande
Si x est la direction de propagation de l’onde électromagnétique, le
gain g(ν) est donné par :
dIν
= g(ν)Iν
(2.27)
dx
ou Iν est l’intensité de l’onde de fréquence ν. Un bilan d’énergie dans une
boîte de taille dx Ly Lz pendant une durée dt nous donne (I est l’intensité
arrivant en x et I + dI l’intensité sortant en x + dx ) :
IνdtLyLz + B∆ñρ(ν)hνdxLyLzdt − (I + dI)νdtLyLz = 0 (2.28)
ou ∆ñ = (n2 − n1) est la différence de population entre les deux niveaux
(positive dans le cas d’une inversion de population). B est le coefficient
d’Einstein lié à l’émission stimulée. On a négligé le terme d’émission spontanée
qui n’a qu’une contribution mineure. On a donc :
dIν
dx
= B∆ñρ(ν)hν (2.29)
Nous allons cherché le lien entre ρ(ν) et Iν afin d’obtenir une formule
exprimant le gain. Jusqu’à présent on a traité la transition entre deux niveaux
d’énergies discrètes. Typiquement la forme de raie de la transition
est une lorentzienne :
γ(ν) = 1
π
(∆ν/2)
(ν − ν0) 2 + (∆ν/2) 2
(2.30)
Cette lorentzienne centrée en ν0 est normalisé à 1 ( γ(ν)dν = 1 ) , et sa
largeur à mi-hauteur (FWHM) est ∆ν.
On peut alors écrire la densité spectrale d’énergie ρ(ν) en fonction de
cette lorentzienne et de l’intensité :
ρ(ν) = γ(ν)(densité volumique d’énergie)
n
= γ(ν)
c Iν
√
ɛ
= γ(ν)
c Iν
(2.31)
Pour éviter les confusions entre l’inversion de population ∆ñ et l’indice
optique n, nous écrirons l’indice optique sous la forme √ ɛ.
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