PHOTONIQUE POUR LES LASERS À CASCADE QUANTIQUE ...

tel-00740111, version 1 - 9 Oct 2012
CHAPITRE 7 . CRISTAUX PHOTONIQUES, THÉORIE ET MODÉLISATION
– Si ω1 = ω2, les vecteurs propres ne sont pas forcément orthogonaux,
mais il est toujours possible de trouver une base orthogonale
(procédure de Gram-Schmidt).
– en normalisant les modes, on a alors une base orthonormale.
Si au lieu de travailler avec le champ magnétique, on étudie le champ
électrique, l’opérateur associé ne sera plus hermitien, et donc les calculs
seront plus complexes. On choisit ainsi de travailler avec le champ magnétique
par simplicité.
7.2.1 Loi d’échelle
Les équations de Maxwell ne font pas intervenir d’échelle de longueur.
Supposons que l’on connaisse un système A, défini par par une constante
diélectrique ɛA(r), des champs HA et EA pour une longueur d’onde λA.
Un système B, dont la constante diélectrique ɛB(r) vérifie :
ɛB(sr) = ɛA(r) (7.8)
où s est une constante. Il est facile de vérifier que les champs HB(r) =
HA(sr) et EB(r) = EA(sr) sont solutions des équations de Maxwell pour
ce système B avec une longueur d’onde λB = sλA.
Ainsi la solution d’un problème pour une longueur donnée détermine
les solutions pour toutes les autres longueurs.
Grâce à cela, généralement des grandeurs sans unité seront utilisées
pour les cristaux photoniques, par exemple la fréquence sera donnée par
la fréquence normalisée égale à a/λ, où a sera la période du CP.
7.2.2 Théorème de Bloch
Nous allons maintenant suivre le raisonnement utilisé en physique des
solides pour donner les propriétés d’un système périodique. La périodicité
correspondra à la périodicité de la constante diélectrique ɛ(r). La démonstration
du théorème de Bloch peut être trouvée dans de nombreux
ouvrages, par exemple le livre “Physique des solides” de N. W. Ashcroft et
N. D. Mermin [31].
Pour commencer, nous allons rappeler brièvement quelques éléments
de cristallographie.
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