PHOTONIQUE POUR LES LASERS À CASCADE QUANTIQUE ...

tel-00740111, version 1 - 9 Oct 2012
CHAPITRE 3 . LES GUIDES D’ONDE
δn(z) (la perturbation sur la constante diélectrique est δɛ(z) = 2n(z) δn(z),
et est imaginaire pur). Cette perturbation va entraîner une perturbation sur
les champs, que l’on peut écrire en fonction des 2 équations de Maxwell :
∇ ∧ δ E = iωµ0 δ H
∇ ∧ δ H = −iωɛ0 ɛ δ E − iωɛ0 δɛ E
(3.22)
Le vecteur de Poynting : Π = 1
2 Re( E ∧ H ∗ ) et sa variation est donnée par :
δ Π = 1
δ
4
E ∧ H ∗ + E ∗ ∧ δ
H
où cc est le complexe conjugué.
En utilisant le théorème de Green-Ostrogradski :
∇ ·
f dV = f · d S
V
S
+ cc (3.23)
sur une surface infinie et perpendiculaire aux plans des couches on a :
∇ · δ Π dS = ∂
∂y
δ Π · d S (3.24)
Le premier terme ∇ · δ Π peut être calculé en utilisant la relation,
∇ · ( A ∧ B) = − A · ( ∇ ∧ B) + B · ( ∇ ∧ A)
et les équations de Maxwell perturbées 3.22, on obtient (pour des milieux
sans pertes) :
∇ · δ Π = 1
iωɛ0 δɛ |
4
E| 2
+ cc (3.25)
Le deuxième terme ∂
∂y δ Π peut être obtenu en se rappelant que l’on
utilise un guide d’onde unidimensionnel, on peut alors écrire :
E(y, z) = e(z)e iβy
H(y, z) = h(z)e iβy
on en déduit aisément que :
δ
E(y, z) = δe(z) + i δβ y e(z) e iβy
δ
H(y, z) = δh(z) + i δβ y
h(z) e iβy
61
(3.26)
(3.27)