PHOTONIQUE POUR LES LASERS À CASCADE QUANTIQUE ...

tel-00740111, version 1 - 9 Oct 2012
CHAPITRE 3 . LES GUIDES D’ONDE
Dans le cas du guide plasmonique, la différence entre la réflexion obtenue
avec la formule classique, et en faisant le calcul présenté ci dessus,
est faible, de l’ordre du pourcent.
3.4.3 Interprétation de la réflectivité en terme de largeur du mode
Dans le calcul de la réflectivité deux matrices interviennent Q et T. La
matrice T est une matrice diagonale qui n’est rien d’autre que la normalisation
des modes. C’est au travers de la matrice Q que s’exprime vraiment
les termes essentiels pour la réflectivité des facettes. Nous allons donner
maintenant une description qualitative de l’origine de la réflectivité des facettes
qui est plus grande que la réflectivité habituelle. Pour commencer on
peut noter que les éléments diagonaux de la matrice Q sont les éléments
principaux. Les autres termes sont petits. En effet puisque les modes dans
un guide d’onde sont orthogonaux, leurs transformée de Fourier aussi. Or
les éléments de la matrice Q sont proches du produit scalaire des transformées
de Fourier des modes, ainsi la contribution majeure de cette matrice
provient des éléments diagonaux. Récrivons les éléments diagonaux des
matrices T et Q en fonction des transformées de Fourier des modes :
Q = C |Fz| 2 1
dkz
1 − (kz/k) 2
T ≈ C neff |Fz| 2 (3.120)
dkz
ɛ0
ou C = 2π µ0 et Fz(kz) est la transformée de Fourier du champ électrique
ez(z) d’un mode propre du guide. La réflectivité donnée par (T −Q)/(T +Q)
s’éloigne donc de la valeur standard pour les ondes planes (n − 1)/(n + 1)
à cause du terme 1 − (kz/k) 2 au dénominateur de l’intégrale dans Q.
|Fz| est une courbe en cloche de largeur typique 1/Leff où Leff est l’extension
typique du mode. Quant à la fonction 1/ 1 − (kz/k) 2 c’est aussi
une courbe en cloche dans le plan complexe de largeur k (la divergence
en kz = k ne pose pas de problème puisque son intégrale ne diverge pas).
Ainsi la réflectivité ne va plus être donnée par (n − 1)/(n + 1) si la fonction
dominante dans l’intégrale Q va être 1/ √ ..., et cela se produit pour 1/Leff
plus grand que k. Ainsi
⎧
⎪⎨
R =
⎪⎩ R =
2 n − 1
n + 1
2 n − 1
n + 1
85
si 2πLeff
λ
si 2πLeff
λ
1
1
(3.121)