PHOTONIQUE POUR LES LASERS À CASCADE QUANTIQUE ...

tel-00740111, version 1 - 9 Oct 2012
CHAPITRE 2 . THÉORIE ET MODÉLISATION DES TRANSITIONS
INTER-SOUS-BANDES
q et de polarisation σ (σ peut prendre deux valeurs selon la polarisation,
nous les noterons 1 ou 2).
L’Hamiltonien total s’écrit :
H = (p − e A) 2
2m∗ + V
2 p
= + V + −
2m∗ e
m∗ A · p + p ·
A e
+
2
2A 2
2m∗ (2.10)
On reconnaît le premier terme qui est le l’hamiltonien qui nous a servit
à calculer les états électroniques. Le troisième terme est un terme non
linéaire, que nous allons négliger (ce terme peut être important dans le cas
de champs intenses, par exemple en optique non linéaire). Le deuxième
terme est l’Hamiltonien d’interaction. On va se placer dans le cadre de la
jauge de Coulomb ∇ · A = 0 : dans ce cas p et A commutent, on peut alors
écrire l’Hamiltonien d’interaction :
Hint = − e
m ∗ A · p (2.11)
En jauge de Coulomb le potentiel vecteur A est donné par [34] :
A =
2ɛωqV eq,σ
aq,σe iqr + a †
q,σe−iqr
(2.12)
Dans cette expression ɛ est la permittivité, V le volume de la cavité et eq,σ
le vecteur de polarisation, a et a † sont les opérateurs d’annihilation et de
création de photon. ωq est l’énergie d’un photon de vecteur d’onde q.
On rappelle que l’action de l’opérateur création a † sur un état à n photons
est a † |n〉 = √ n + 1|n + 1〉 et pour l’opérateur annihilation a|n〉 =
√ n|n − 1〉. En appliquant ces relations et en tenant compte que les états
de photons sont orthonormés on trouve :
〈ψf|Hint|ψi〉 = −
e 2
2m ∗2 ɛωqV
〈f, kf|e iqr eqσ · p|i, ki〉 √ niδ n i −1,n f
+ 〈f, kf|e −iqr eqσ · p|i, ki〉 √ ni + 1δ n i +1,n f
(2.13)
Le premier terme correspond à l’absorption d’un photon, et le deuxième à
l’émission.
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