PHOTONIQUE POUR LES LASERS À CASCADE QUANTIQUE ...

tel-00740111, version 1 - 9 Oct 2012
CHAPITRE 2 . THÉORIE ET MODÉLISATION DES TRANSITIONS
INTER-SOUS-BANDES
donnés par :
Wi→f( ki, kf) =
kf
q
qz
2π
C2 F
1
q 2 + q2 z
|Ai,f(qz)| 2 δ ki, kf ∓
q
∗ (nωLO + 1/2 ∓ 1/2) δ(Ef( kf) − Ei( ki) ± ωLO)
(2.44)
Le passage de somme à intégrale se fait très facilement puisque la courbe
de dispersion des phonons LO est plate (la densité d’état est alors ρ(q)dq =
S
4π2 dq Lz
2π dqz). En utilisant la relation : exp(ix)
a2 +x2 = πe−|a| /|a|, la somme sur qz
donne :
qz
1
q 2 + q2 z
|Ai,f(qz)| = Lz
2 Bi,f(q) (2.45)
Où Lz est une longueur de normalisation et Bi,f est donné par :
Bi,f(q) =
dzdz ′ φ ∗ f(z)φi(z) 1
e −q|z−z ′ | ∗
φi (z ′ )φf(z ′ ) (2.46)
On obtient alors les taux de transition (en utilisant la forme de CF , cf. équation
2.36) :
W abs
i→f( ki) = m∗e2ωLO 8π2
1
−
ɛ∞
1
ɛs
W emi
i→f( ki) = m∗e2ωLO 8π2
1
−
ɛ∞
1
ɛs
Bi,f(q) = dzdz ′ φ ∗ f(z)φi(z) 1
nωLO
q
2π
nωLO dθBi,f(q)
0
2π
(nωLO + 1)
0
dθBi,f(q)
e
q
−q|z−z ′ | ∗
φi (z ′ )φf(z ′ )
est la distribution de Bose-Einstein des phonons LO :
nωLO =
1
e ωLO/kT − 1
(2.47)
(2.48)
Le taux d’émission en fonction de la température, peut être obtenu en
utilisant une distribution de Fermi-Dirac pour les électrons :
W emi
dEkW
(T ) =
emi ( k)fF
D(Ek)
(2.49)
dEkfF D(Ek)
où Ek = 2 k 2 /2m ∗ est l’énergie cinétique de l’électron dans le plan.
À titre d’exemple, la figure 2.2 décrit le taux d’émission de phonon ainsi
obtenu en fonction de la séparation entre les deux niveaux mis en jeu. Pour
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