PHOTONIQUE POUR LES LASERS À CASCADE QUANTIQUE ...

tel-00740111, version 1 - 9 Oct 2012
CHAPITRE 2 . THÉORIE ET MODÉLISATION DES TRANSITIONS
INTER-SOUS-BANDES
[37], qui est dédié plus précisément aux structures inter-sous-bandes (attention
dans cet article les unités cgs sont utilisées). Bien que nous utilisons
des structures à base de puits quantiques, pour ces calculs nous
nous restreindrons aux phonons du GaAs massif. Prendre en compte les
phonons d’interfaces ne donne lieu, dans la plupart des cas, qu’à des petites
corrections. Afin de simplifier les calculs, nous ne ferons pas intervenir
d’écrantage.
L’interaction se calcule en utilisant l’Hamiltonien de Fröhlich [36] :
HF ro =
q
iCF
q
e iqr bq − e −iqr b †
q
(2.35)
où q est le vecteur d’onde du phonon, bq et b †
q sont les opérateurs annihilation
et création de phonon de vecteur d’onde q , et CF la constante de
Fröhlich, elle est donnée pour une interaction avec les phonons LO :
CF =
ωLOe 2
2V
1
ɛ∞
− 1
ɛs
(2.36)
ɛ∞ et ɛs sont les constantes diélectriques pour les hautes fréquences et en
statique. Dans le GaAs ces valeurs sont ɛ∞ = 10.94ɛ0 et ɛs = 12.91ɛ0.
En appliquant la règle d’or de Fermi, le taux de transition mettant en
jeu un phonon LO est donné par :
Wi→f( ki, kf) = 2π
〈f,
kf|HF ro|i,
ki〉 2
δ(Ef( kf) − Ei( ki) ± ωLO) (2.37)
En utilisant la forme des fonctions d’ondes utilisée précédemment (cf eq.
2.3), on obtient :
〈f, kf|HF ro|i,
ki〉
1
2
= C 2 F
q2 + q2 z
|Ai,f(qz)| 2 δki, (nωLO kf ∓q +1/2∓1/2) (2.38)
où q et qz sont les composantes du vecteur d’onde du phonon parallèlement
et perpendiculairement aux plans des couches. nωLO est l’occupation
de phonon. Le signe moins correspond à l’absorption de phonon et le
terme plus à l’émission. Ai,f est un facteur de forme donné par :
Ai,f(qz) = φf(z) ∗ φi(z)exp(±iqzz) (2.39)
Deux règles de sélection apparaissent dans la règle d’or de Fermi, la
conservation de l’énergie et la conservation du moment dans le plan. En
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