PHOTONIQUE POUR LES LASERS À CASCADE QUANTIQUE ...

tel-00740111, version 1 - 9 Oct 2012
ce qui implique (en utilisant les équations 3.23 et 3.27 ) :
3.1 . INTRODUCTION
∂
∂y δ Π = − Im(δβ)
(e ∧
2
h ∗ ) + cc (3.28)
Les relations 3.24,3.25 et 3.28 impliquent que (les intégrales doubles
deviennent des intégrales simple car nous étudions un guide 1D) :
1
iωɛ0δɛ|e(z)|
4
2
−Im(δβ)
dz + cc =
e ∧
2
h ∗
· eydz + cc (3.29)
On peut s’affranchir des complexes conjugués car les intégrales sont réelles.
Pour le membre de droite c’est immédiat puisque δɛ est imaginaire pur.
Pour le membre de gauche pour montrer que (e ∧ h ∗ ) · ey = (e ∗ ∧ h) · ey, il
faut utiliser la forme des champs dans un guide d’onde 3.4 avec un indice
n(z) réel.
En utilisant δβ = ω/c δneff = √ µ0ɛ0 ω δneff et δɛ(z) = 2n(z) δn(z) =
2i n(z) Im(δn(z)), on trouve que la correction de l’indice effectif est purement
imaginaire et donné au premier ordre par :
2
ɛ0 n(z) Im(δn(z)) |e(z)| dz
Im(δneff) = (3.30)
µ0 (e(z) ∧ h ∗ (z)) · ey dz
Le gain (ou les pertes) est lié à l’indice par :
g = 4πIm(n)
λ
c’est à dire la variation de l’indice est donnée par :
λ/(4π) g0 si z est dans la région active
Im(δn(z)) =
0 sinon
et la variation de l’indice effectif est :
Im(δneff) = λ/(4π) Γg0
(3.31)
(3.32)
Dans le cas d’une transition inter-sous-bande on rappelle que dans le
gain on avait un terme |e · z| 2 , cela implique que dans le numérateur de
l’équation 3.30, e doit être remplacé par ez. En utilisant les équations 3.30,
3.34 et 3.32 on trouve alors l’expression du confinement Γ
Γ =
ɛ0
µ0
nAR
AR |Ez(z)| 2 dz
∞
−∞ ( E(z) ∧ H ∗ (z)) · eydz
62
(3.33)