PHOTONIQUE POUR LES LASERS À CASCADE QUANTIQUE ...

tel-00740111, version 1 - 9 Oct 2012
CHAPITRE 7 . CRISTAUX PHOTONIQUES, THÉORIE ET MODÉLISATION
Ce réseau réciproque est aussi un réseau de Bravais, et ses vecteurs
primitifs sont donnés par :
b1 = 2π
a2 ∧ a3
a1 · ( a2 ∧ a3)
(7.11)
où ai sont les vecteurs primitifs du réseau direct. Les deux autres vecteurs
primitifs b2 et b3 sont obtenus en faisant une permutation circulaire des
indices 1, 2 et 3 dans l’équation 7.11.
La maille primitive de Wigner-Seitz du réseau réciproque est généralement
appelée première zone de Brillouin.
Théorème de Bloch
Dans un cristal photonique la constante diélectrique ɛ(r) est périodique,
on peut alors définir un réseau de Bravais tel que :
ɛ(r + R) = ɛ(r) (7.12)
pour tout vecteur R du réseau de Bravais.
Pour démontrer le théorème de Bloch, il faut introduire un opérateur
translation T R :
T R f(r) = f(r + R) (7.13)
L’hamiltonien Θ étant périodique il commute avec l’opérateur translation
: 11
[T R , Θ] = 0 (7.14)
Or d’après les théorèmes de la mécanique quantique, si deux opérateurs
commutent, un vecteur propre de l’un sera vecteur propre de l’autre
[44], ainsi un champ H solution de l’équation de propagation sera aussi
vecteur propre de l’opérateur translation :
Θ
ω
2 H = H
c
(7.15)
T R H = c R H
où c R est la valeur propre associée à l’opérateur translation du vecteur R.
D’après la définition des opérateurs translations, on a :
T R1+ R2 = T R1 T R2
(7.16)
11 Pour montrer que les opérateurs commutent, il suffit de montrer que l’opérateur translation
commute avec ∇. Pour cela il faut vérifier que l’opérateur translation commute avec
l’opérateur dérivée : ∂
∂x TRf(x) = ∂
∂x f(x + R) = f ′ (x + R) = TR ∂
∂x f(x)
145