PHOTONIQUE POUR LES LASERS À CASCADE QUANTIQUE ...

tel-00740111, version 1 - 9 Oct 2012
avec
ki = β2 − k2 0ɛi
k0 = ω
c
β = k0neff
3.1 . INTRODUCTION
(3.5)
Dans tous les calculs nous rencontrerons souvent des racines carrés.
Celles-ci
√
étant définies dans le plan complexe, tel que la partie réelle de
z soit positive.
neff est l’indice effectif du mode, c’est à dire que le mode se propage à
la même vitesse que dans un matériau d’indice neff. Cet indice effectif est
l’inconnue à trouver. On l’obtient en utilisant les relations de continuités qui
peuvent s’écrire en fonction des matrices de transfert reliant les champs
entre deux matériaux successifs :
Aj+1 Aj
= Tj
(3.6)
Tj = 1
2
Bj+1
Bj
(1 + ξj)e kj(zj+1−zj) (1 − ξj)e −kj(zj+1−zj)
(1 − ξj)e kj(zj+1−zj) (1 + ξj)e −kj(zj+1−zj)
⎧
⎪⎨
ξj =
⎪⎩
kj
kj+1
kj+1
kj
ɛj
ɛj+1
en TE
en TM
(3.7)
(3.8)
Un mode est guidé si ses champs tendent exponentiellement vers zéro à
l’infini. Cela impose (avec les notations utilisées) que :
B1 = 0
AN = 0
Cela équivaut à annuler l’élément (1, 1) de la matrice T définie par :
T = TN−1TN−2...T2T1
(3.9)
(3.10)
Les modes propres du guide sont donc les solutions de l’équation à une
inconnue (neff) :
T (1, 1) = 0 (3.11)
Il n’y a généralement pas de solution simple à cette équation. Pour la
résoudre il faut chercher les zéros d’une fonction dans le plan complexe.
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