PHOTONIQUE POUR LES LASERS À CASCADE QUANTIQUE ...

tel-00740111, version 1 - 9 Oct 2012
CHAPITRE 3 . LES GUIDES D’ONDE
ce qui implique que
(2θ1 − θ12 − π) ∈ [−π, π/2]
(2θ2 − θ12 − π) ∈ [−π, π/2]
(3.62)
D’après la définition de la racine carrée complexe (3.55), on a alors :
√
ei(2θ1−θ12−π) ei(θ1−θ12/2−π/2)
√ = = ei(θ1−θ2) (3.63)
ei(2θ2−θ12−π) ei(θ2−θ12/2−π/2) L’équation 3.60 n’a donc pas de solution si Re(ɛ1) < 0 et Re(ɛ2) < 0.
Deuxième cas : Re(ɛ1) > 0 et Re(ɛ2) > 0
Si les parties réelles des constantes diélectriques sont positives, alors :
(θ1, θ2, θ12) ∈ [0, π/2] 3
pour Re(ɛ1) > 0 et Re(ɛ2) > 0 (3.64)
Afin de simplifier le raisonnement on va supposer que :
Alors
et donc
θ1 < θ12 < θ2
(3.65)
(θ1 − θ12) ∈ [−π/2, 0] (3.66)
(2θ1 − θ12 − π) ∈ [−3π/2, −π/2] (3.67)
Le numérateur de l’équation 3.54 est alors donné par :
√ e
ei(2θ1−θ12−π) =
i(θ1−θ12/2−π/2) si (2θ1 − θ12 − π) ∈ [−π, −π/2]
ei(θ1−θ12/2+π/2) si (2θ1 − θ12 − π) ∈ [−3π/2, −π]
(3.68)
De même on a
(θ2 − θ12) ∈ [0, π/2]
(2θ2 − θ12) ∈ [0, π]
et ainsi le numérateur de 3.54 est égal à :
√ e i(2θ2−θ12−π) = e i(θ2−θ12/2−π/2)
(3.69)
(3.70)
Ainsi d’après les équations 3.68 et 3.70 l’équation 3.54 n’admet de
solution que pour :
(2θ1 − θ12) ∈ [−π/2, 0] (3.71)
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