PHOTONIQUE POUR LES LASERS À CASCADE QUANTIQUE ...

tel-00740111, version 1 - 9 Oct 2012
CHAPITRE 2 . THÉORIE ET MODÉLISATION DES TRANSITIONS
INTER-SOUS-BANDES
me− dénote la masse de l’électron et V est le potentiel périodique associé
au cristal. D’après le théorème de Bloch, les vecteurs propres peuvent
s’écrire :
〈r|ψ n k 〉 = U n k (r)exp(i k · r)
où U n k est une fonction avec la même périodicité que le réseau de Bravais.
n correspond au numéro de la bande, et k le vecteur d’onde d’un électron
dans la première zone de Brillouin (la première zone de Brillouin est la
maille primitive du réseau réciproque [31]).
Les fonctions d’onde |ψnk〉 sont des vecteurs propres de l’équation de
Schrödinger, elles forment donc une base orthonormale :
2.1.2 Modèle k · p
〈ψnk|ψn ′ k ′〉 = δnn ′δkk ′
Réécrivons l’équation de Schrödinger en utilisant les fonctions d’onde
de Bloch. On obtient :
− 2
2me− ∇ 2 +
me−
k · p + 2 2 k
2me−
+ V (r) Unk (r) = Enk (r)U nk (r) (2.1)
Le modèle k · p tient son nom du deuxième terme de l’équation. Je ne
développerai pas ici les détails des calculs dans le modèle k · p, mais je
vais en résumer les grandes lignes.
Le terme k · p contient un couplage entre les différentes bandes du
semi-conducteur. Dans le cadre le plus simple on se limite à quatre bandes.
On doit alors diagonaliser une matrice 8 fois 8 (8=4*2 à cause du spin). On
se rend alors compte que l’énergie varie de manière quadratique avec le
vecteur d’onde k. On peut alors associer une masse effective à chacune
des bandes. Cette masse effective se note m ∗ . Par exemple pour la bande
de conduction du GaAs la masse effective est égale à 0.067 fois la masse
de l’électron libre. Dans la majorité des propriétés du semi-conducteur, la
masse effective remplace la masse de l’électron.
2.1.3 Approximation de la fonction enveloppe
Dans le cadre de l’approximation de la masse effective l’équation de
Schrödinger s’écrit :
− 2
2m ∗ ∇ 2 − 2
2m ∗
∂2
+ Ec(z) ψ(r) = Eψ(r) (2.2)
∂z2 27