PHOTONIQUE POUR LES LASERS À CASCADE QUANTIQUE ...

tel-00740111, version 1 - 9 Oct 2012
2.1 . NIVEAUX ÉLECTRONIQUES DANS UN PUITS QUANTIQUE
Dans cette équation nous avons séparé la variation dans le plan des puits
quantiques et dans la direction normale. Dans ce manuscrit de thèse, la
direction normale sera la direction z. Dans cette équation Ec(z) représente
le profil de la bande de conduction. Le potentiel ne dépendant pas de x et
y, la fonction d’onde va être une onde plane dans le plan xOy, ainsi :
ψ(r) = 1
√ S φ(z)exp(i kρ) (2.3)
Le vecteur ρ correspond à la projection du vecteur r sur le plan (xOy), k
est le vecteur d’onde dans le plan et S la surface de normalisation.
La fonction enveloppe φ(z) vérifie l’équation de Schrödinger unidimen-
sionnelle :
− 2
2m ∗
L’énergie totale est alors la somme :
d2
+ Ec(z) φ(z) = E0φ(z) (2.4)
dz2 E = E0 + 2 k
2m ∗
L’équation 2.4 correspond à un matériau donné, c’est à dire pour un
puits ou une barrière quantique. Lors d’un changement de matériau, la
masse effective change, ainsi que le profil de bande de conduction (on
parle de discontinuité de la bande de conduction). À priori pour obtenir la
fonction d’onde finale, il faut résoudre cette équation dans chaque matériau
et utiliser les relations de continuités afin d’obtenir la solution finale.
Afin de ne résoudre qu’une seule équation on va introduire une masse effective
dépendant de la position. Pour commencer intégrons l’équation de
Schrödinger :
− 2
2m ∗ i
d
φ(z) = E0 − Eci
dz (z)
φ(z)dz z ∈]zi, zi+1[
Cette équation n’est valable que pour un matériau i donné entre les
abscisses zi et zi+1. Si on étend cette équation au changement de ma-
tériau, alors on aura le potentiel Ec(z) qui va être continu par morceaux.
Le membre de droite est une fonction continue. Il s’en suit que 1
m∗ est aussi une fonction continue. Réécrivons l’équation de Schrödinger intégrée
:
− 2
2m∗
d
φ(z) = E0 − Ec(z) φ(z)dz z ∈ R
(z) dz
28
d
dz φ(z)