PHOTONIQUE POUR LES LASERS À CASCADE QUANTIQUE ...

tel-00740111, version 1 - 9 Oct 2012
CHAPITRE 3 . LES GUIDES D’ONDE
Cela se fait assez facilement en utilisant des suites définies par récurrence,
par exemple en utilisant la méthode de Newton, ou la méthode
Regula Falsi définie par la suite récurrente :
un+1 = unf(un−1) − un−1f(un)
f(un−1) − f(un)
(3.12)
Cette suite de Regula Falsi converge rapidement vers les zéros de la fonction
f (complexe). Dans notre cas, nous utiliserons comme fonction f, l’élément
de la matrice T (1, 1), en fonction d’une suite un qui est initialisée avec
un indice optique quelconque. La suite un tend alors rapidement vers l’indice
effectif d’un des modes propres du guide. En changeant la valeur
d’initialisation on peut alors trouver les différents modes du guide d’onde.
3.1.2 Orthogonalité des modes
Les modes supportés par un guide d’onde sont orthogonaux entre eux.
Nous allons maintenant démontrer cette relation d’orthogonalité [56]. Dans
le guide d’onde les champs s’écrivent (en utilisant les mêmes notations
que précédemment) :
E(r) = e(r)e iβy
H(r) = h(r)e iβy
(3.13)
r étant la projection de r sur le plan (x0z). e et h vérifie l’équation de
Helmholtz projetée sur le plan (x0z) :
△ + k 2
0ɛ(r) e = β 2 e
△ + k 2 (3.14)
h
0ɛ(r) = β
2h En utilisant ces relations il est facile de montrer que :
ei ∧ △
hj − △ei ∧
hj = β 2 j − β 2
i ei ∧
hj
V
S
(3.15)
En utilisant la seconde identité de Green :
ψ△φ − φ△ψ dV = ○ ψ ∇φ − φ
∇ψ · d S (3.16)
et en intégrant sur un contour infini, où les champs deviennent nuls, on
obtient (le volume d’intégration est V = S dy, S étant le plan infini x0z) :
d
S · ei ∧ △ hj − △ei ∧
hj = 0 (3.17)
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