Immersioni aperte in dimensione infinita - Dipartimento di Matematica

88 Intorni tubolari
Dimostrazione. Supponiamo per semplicità che M sia completa. Per ogni p in N, TpN è un
sottospazio vettoriale chiuso dello spazio di Hilbert TpM. Denotiamo il suo complemento ortogonale
con (TpN) ⊥ . Consideriamo la mappa esponenziale exp: T M → M e denotiamo con exp |N la sua
restrizione al fibrato normale a N, N (N). Identifichiamo N con la sezione nulla in N (N) ed
osserviamo che, per ogni p ∈ N,
N (N) = TpN × (TpN) ⊥ = TpM
e
Tp
d(exp | N ) p : Tp N (N) → TpM
è un isomorfismo lineare. Esiste dunque un intorno Wp di p in N (N) tale che la restrizione della
mappa esponenziale a Wp è un diffeomorfismo su un intorno di p in M. La collezione exp(Wp)
p
ottenuta al variare di p in N è un ricoprimento di N costituito da insiemi aperti di M. Inoltre,
per ogni p in N, possiamo assumere che N ∩ exp(Wp) sia connesso. In particolare (exp |Wp) −1 |N
è l’identità. Sia {Ui} un raffinamento localmente finito di {exp(Wp)}p∈N ed indichiamo con fi il
diffeomorfismo inverso di exp su Ui (diffeomorfismi inversi siffatti devono esistere, infatti, per ogni
i, Ui è contenuto in qualche Wp; inoltre, per ogni i, possiamo assumere che Ui ∩ N = ∅). Sia ora
{Vi} un ricoprimento localmente finito di N tale che per ogni i, V i ⊂ Ui. Se p ∈ N, allora esiste
un intorno Gp di p in M che interseca solamente un numero finito dei V i, siano essi V 1, . . . , V n.
Inoltre, se Gp è abbastanza piccolo, a meno di permutare gli indici possiamo assumere che Gp sia
contenuto in V1, e che Gp ∩ V j = ∅ solo se p ∈ V j.
Si osservi che, essendo per ogni i fi un inverso di exp, a meno di restringere ulteriormente Gp,
f1, . . . , fn devono coincidere su Gp (infatti, se così non fosse, allora dovrebbe esistere una successione
di punti ym = exp(v1m) = exp(v2m) con v1m = v2m e ym convergente a p, da cui seguirebbe che
(v1m), (v2m) dovrebbero convergere a Op, contraddicendo il fatto che exp |W è un diffeomorfismo).
p
Poniamo per y ∈ Gp, fp(y) := f1(y), G := Gp e f = fp. Allora f è una inversa per exp
sull’insieme aperto f(G) ⊂ N (N).
Come promesso, consideriamo la seguente generalizzazione del teorema precedente al caso delle
varietà di Banach:
Teorema D.9. Siano M una varietà di Banach di classe C p (3 ≤ p ≤ ∞) che ammetta partizioni
dell’unità ed N ⊂ M una sottovarietà chiusa. Allora esiste un intorno tubolare di N in M di classe
C p−2 .
Traccia della dimostrazione. Consideriamo la successione esatta di fibrati:
0 → T N −→ T M|N −→ N (N) → 0,
la quale, (cfr. eq. D.1.1) modulo l’identificazione del fibrato normale N (N) con un sottofibrato di
T M|N può essere scritta come
0 → T N −→ T N ⊕ N (N) −→ N (N) → 0.
Indicato con S uno spray su T M (la cui esistenza globale su tutto T M è garantita dall’ipotesi
di esistenza di partizioni dell’unità su M, cfr. teorema F.8), consideriamo la mappa esponenziale
associata ad S, sia essa exp: E → M, e dunque, nelle notazioni della dimostrazione del teorema D.8,
consideriamo la restrizione
exp |N : E ∩ N (N) → M. (D.4.1)
In modo analogo alla dimostrazione del teorema D.8, lavorando in carte locali si dimostra che
(D.4.1) è un diffeomorfismo locale. Dunque esiste un fibrato vettoriale X → N, un intorno aperto
V della sezione nulla ζ(N) in X, ed una mappa f : V → M tale che, per ogni q di ζ(N), f è un
isomorfismo locale in q. Similmente a quanto argomentato per dimostrare il teorema D.8, seguendo
la costruzione indicata da Godement ([Go 58], pag. 150) è possibile determinare un sottoinsieme
G ⊂ V in modo tale che la restrizione di f a G sia un diffeomorfismo.
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