Immersioni aperte in dimensione infinita - Dipartimento di Matematica

6 Fenomeni della dimensione infinita
1.3.1 Sul teorema di Brouwer in dimensione infinita
Proposizione 1.12. Sia H uno spazio di Hilbert separabile di dimensione infinita e sia B la palla
unitaria chiusa. Allora esiste un’applicazione continua G: B → B priva di punti fissi.
Dimostrazione. Nelle notazioni della dimostrazione del teorema 1.11 precedente, sia G: B → B
definita da
G(x) : def
= 1
1 − |x|
2 2
e0 + F (x) = +∞
1
1 − |x|
2 2
e0 +
j=1
〈x, ej−1〉ej. (1.3.4)
Chiaramente G è continua, e |G(x)| 2 = 1 − |x| 2 + |F (x)| 2 = 1. Inoltre G e priva di punti fissi.
Infatti, se esistesse x in B tale che G(x) = x allora, essendo
G(x) = +∞
1
1 − |x|
2 2
e0 + 〈x, ej−1〉ej
j=1
= 1
1 − |x|
2 2
e0 + 〈x, e0〉e1 + 〈x, e1〉e2 + 〈x, e2〉e3 + · · ·
dovrebbe essere 1 1
− |x| 2 2 = 〈x, ej〉 per ogni j ∈ N
|x| 2 = +∞
j=0 〈x, ej〉 2 ≤ 1
da cui
+∞
j=0
〈x, ej〉 2 =
+∞
j=0
1 − |x| 2 ≤ 1. (1.3.5)
Distinguiamo due casi: se |x| = 1 allora la serie 1.3.5 è una serie a termini costanti, dunque è
divergente, contraddizione. D’altra parte, se |x| = 1 allora G(x) = F (x) e per quanto si è già
osservato F è priva di punti fissi eccezion fatta che per x = 0.
Osservazione 1.13. Nelle notazioni precedentemente introdotte, un’altra mappa G: B → B priva
di punti fissi in B è la seguente:
π cos 2 G(x) =
|x|e0 + sin π
2 |x| F (x)
||x|| se x = 0;
se x = 0.
(1.3.6)
e0
Per prima cosa osserviamo che (i) se |x| = 1 allora G(x) = F (x), i.e., l’operatore di shift destro
definito in (1.3.1). Inoltre (ii) |G(x)| 2 = cos2 π
2 |x| + sin 2 π
2 |x| ||F (x)|| 2
||x|| 2
G(B) ⊂ S ⊂ B. Infine da (i) e da (ii) segue che
= 1, quindi, precisamente,
(∀ n ∈ N + ) G n (x) = F n−1 ◦ G(x). (1.3.7)
Infatti, procedendo per induzione, per n = 2, G 2 (x) = G G(x) = F G(x) , in cui l’ultima
uguaglianza segue dalla proprietà (ii) e dunque dalla proprietà (i), inoltre, se n > 2 allora
G n (x) = G n−1 ◦ G(x) = F n−2 ◦ G ◦ G(x) = F n−1 ◦ G(x).
Supponiamo ora che esista x in B tale che G(x) = x. Allora dovrebbe essere
F ◦ G(x) = G2 (x) = G(x) = x
❀ F (x) = x ⇔ x = 0.
F ◦ G(x) = F (x)
D’altra parte G(0) = e0 = 0, contraddizione. Segue che G non ha punti fissi.
Un altro esempio di una mappa di B in B priva di punti fissi è
Gs(x) = s(1 − |x|)e0 + F (x),
in cui s ∈]0, 1[ è fissato. Si verifica inoltre facilmente che Gs è lipschitziana con costante di Lipschitz
√ 1 + s 2 .
IMMERSIONI APERTE IN DIMENSIONE INFINITA