Immersioni aperte in dimensione infinita - Dipartimento di Matematica

A.2 Assiomi di numerabilità 63
Lemma A.9. Ogni ricoprimento aperto di uno spazio metrizzabile separabile ammette un raffinamento
numerabile star-finito.
Avremo bisogno anche del seguente lemma:
Lemma A.10. Sia {Ui}i1 un ricoprimento aperto localmente finito di uno spazio metrizzabile
separabile X; sia {Vi}i1 un raffinamento shrunk di {Ui}i1. Allora esiste un raffinamento starfinito
{Wj}j1 di {Vi}i1 tale che
Wj ⊂ V i(j) ⇒ St(Wj) ⊂ U i(j).
Dimostrazione. Fissato x ∈ X, siano 1(x), . . . , m(x) gli interi per cui x ∈ Ui(x) (1 i m).
Supponiamo che x ∈ V1(x). Siccome x /∈ V j per j /∈ 1(x), . . . , m(x) , l’insieme
Wx = V1(x) ∩ U2(x) ∩ · · · ∩ Um(x) ∩ X \
Vj : j /∈ {1(x), . . . , m(x)}
è un intorno aperto di x: infatti, se fosse x ∈ Vj : j /∈ {1(x), . . . , m(x)} allora ogni intorno di
x intersecherebbe qualche Vj. D’altra parte {V j}j≥1 è localmente finito, dunque esiste un intorno
W di x che interseca esclusivamente un numero finito di elementi di {V j}j≥1, che indicheremo con
V j1 , . . . , V jp . Quindi W ∩ (X \ V j1 ) ∩ · · · ∩ (X \ V jp ) è un intorno di x che non interseca alcuno
dei Vj, contraddizione, dunque
x ∈ X \ Vj : j /∈ {1(x), . . . , m(x)} .
Supponiamo che Wx ∩ Wx ′ = ∅ e Wx ⊂ Vj. Dunque j = i(x) per qualche intero i(x). Essendo
Wx ′ ∩ Vj = ∅, per qualche indice i ′ risulta j = i ′ (x ′ ). Segue che Wx ∪ Wx ′ ⊂ Uj. Il lemma è
dimostrato scegliendo un raffinamento numerabile star-finito del ricoprimento {Wx}x∈X.
A.2 Assiomi di numerabilità
Definizione A.11. Siano X uno spazio topologico e x0 in X. Un insieme U di intorni di x0 si
dice base di intorni di x0 o sistema fondamentale di intorni di x0 se ogni intorno di x0 contiene un
intorno in U.
Definizione A.12. Uno spazio topologico X soddisfa il primo assioma di numerabilità, e si dice
primo numerabile, se ogni punto ha una base di intorni numerabile, i.e., per ogni punto x in X
esiste una successione U1, U2, . . . di intorni aperti di x tale che per ogni intorno V di x esiste i per
cui Ui ⊂ V . Esso soddisfa il secondo assioma di numerabilità, ed in tal caso si dice anche che X è
secondo numerabile oppure che X è a base numerabile, se ha una base numerabile per la topologia,
esiste cioè una famiglia numerabile di aperti tale che ogni altro aperto è unione di aperti della
famiglia.
Osservazione A.13. Si dimostra [Bou4 90] che uno spazio topologico che soddisfa il secondo assioma
di numerabilità soddisfa anche il primo assioma di numerabilità.
La nozione espressa dalla prossima definizione è una sorta di terzo assioma di numerabilità: la
separabilità:
Definizione A.14. Uno spazio topologico si dice separabile se contiene un sottoinsieme denso e
numerabile.
Proposizione A.15. Ogni spazio topologico a base numerabile è separabile.
Dimostrazione. Sia B una base numerabile di uno spazio topologico X; per ogni aperto U ∈ B
scegliamo un punto p U ∈ U. L’insieme B = {pU : U ∈ B} è numerabile, l’insieme X \ B non
contiene alcun aperto della base e quindi B = X.
RAUL TOZZI