Immersioni aperte in dimensione infinita - Dipartimento di Matematica

Appendice G
Analisi funzionale lineare
G.1 Richiami di analisi lineare negli spazi di Banach
Se E ed F sono spazi normati, indicheremo con L(E, F ) lo spazio degli operatori lineari e continui
da E a F , equivalentemente lo spazio degli operatori di E in F per cui esista una costante C tale che
per ogni x in E, |T x| ≤ C |x|, ossia, in altri termini, lo spazio degli operatori limitati sui limitati,
comunemente chiamati –con abuso di linguaggio– operatori limitati.
Teorema G.1 (della mappa aperta). Siano E ed F spazi di Banach. Se ϕ in L(E, F ) è un
operatore surgettivo, allora ϕ è un’applicazione aperta, ossia per ogni aperto A di E l’insieme ϕ(A)
è aperto in F .
Corollario G.2. Siano E, F spazi di Banach e sia ϕ in L(E, F ). Se ϕ è bigettivo, allora ϕ è un
isomorfismo toplineare, ossia ϕ −1 ∈ L(F, E).
Dimostrazione. Ovviamente ϕ −1 è lineare; inoltre per il teorema G.1 della mappa aperta ϕ trasforma
aperti in aperti, dunque la controimmagine attraverso ϕ −1 di un aperto è un aperto. Pertanto
ϕ −1 è continua e quindi ϕ −1 ∈ L(F, E). Notiamo in particolare che si ha
ove c = |ϕ −1 | L(F,E) .
(∀ x ∈ E) |x| E ≤ c |ϕ(x)| F ,
Corollario G.3. Siano F, G sottospazi chiusi di E tali che F + G = E e F ∩ G = {0}. Allora la
mappa F × G → E definita da (x, y) ↦→ x + y è un isomorfismo toplineare.
Dimostrazione. Essa è continua e bigettiva, dunque la tesi segue applicando il corollario G.2.
Definizione G.4. Nelle ipotesi del corollario G.3 diremo che E è la somma diretta di F e G
e scriveremo E = F ⊕ G. Diremo che un sottospazio chiuso F di uno spazio di Banach E è
complementato se esiste un sottospazio chiuso G ⊂ E tale che E = F ⊕G. In tal caso diremo anche
che F e G sono sottospazi complementari. Chiaramente, in generale, la scelta di G non è unica.
In particolare (cfr. teorema G.18) se E è uno spazio di Hilbert e F è un sottospazio chiuso, allora
E = F ⊕ F ⊥ . Dunque ogni sottospazio chiuso di uno spazio di Hilbert è complementato.
Sia E uno spazio di Banach e F un sottospazio chiuso.
quoziente E/F ponendo
Definiamo una norma sullo spazio
|x + F | = inf |x + y |.
y∈F
(G.1.1)
Lo spazio E/F munito della norma G.1.1 è uno spazio completo. Si osservi che se F non è chiuso
allora G.1.1 non definisce una norma su E/F , infatti uno spazio normato è uno spazio metrico,
dunque di Hausdorff: se F non è chiuso in E allora la topologia quoziente su E/F non è di Hausdorff.
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