Immersioni aperte in dimensione infinita - Dipartimento di Matematica

2.2 Mappe di Fredholm di indice zero proprie e limitate 25
∂x (x0) = id; infine, identificando TOx0 con Tx0M, h22 = ∂(v↦→exp
x (v) )
0 ∂(v↦→v)
∂v (Ox0) = d(expx0 )Ox ◦ 0 ∂v (Ox0) = idTx M ◦ id = id.
0
h12 = ∂(x↦→x)
∂v
(x0) = 0; h21 = ∂(x↦→exp x Ox)
∂x
(x0) = ∂(x↦→x)
Si tratta di un operatore invertibile, ed il lemma segue dal noto teorema della mappa inversa.
Tx0 M
Teorema 2.24. Sia M una varietà paracompatta di classe C ∞ , modellata su uno spazio di Hilbert
separabile H. Allora esiste una mappa C ∞ di M in H Fredholm di indice zero.
Dimostrazione. Fissiamo una struttura Riemanniana su M. Sia E ⊂ T M il dominio della mappa
esponenziale associata allo spray Riemanniano su M. Per x ∈ M poniamo Ex = E ∩ TxM e
expx = exp |Ex . Sia G: E → M × M definita come in (2.2.1):
G: v ∈ E ↦−→ G(v) = x, exp x(v) ∈ M × M.
Se x ∈ M, per il lemma 2.23 esiste un intorno Ux di x e un intorno Nx di (x, Ox) in E ∩ T Ux tale
che G|Nx è un diffeomorfismo su Ux × Ux:
G|Nx : Nx ⊂ E ∩ T Ux
Ux × Ux ⊂ M × M. (2.2.3)
A meno di comporre con una traslazione, possiamo supporre che in una carta l’immagine diffeomorfa
dell’intorno Ux sia un intorno aperto U ′ di O ∈ H. Denoteremo con u ′ ∈ U ′ l’immagine di u ∈ Ux
mediante questa carta.
Per il teorema di Kuiper, esiste una mappa g : T M → M ×H che realizza l’isomorfismo tra i due
fibrati T M e M × H. Indicata con π2 : M × H → H la proiezione sul secondo fattore, si consideri
l’applicazione h: U ′ × U ′ → H definita ponendo
h: (u ′ , v ′ ) ∈ U ′ × U ′ ↦−→ h(u ′ , v ′ ) def
= π2 ◦ g ◦ G −1 (u, v) ∈ H. (2.2.4)
Essa è chiaramente di classe C ∞ , inoltre, per costruzione
Infatti, se v ∈ T M, g(v) = g1(v), g2(v) ∈ M × H, quindi
d[h(O, · )]O = ∂h
∂v ′ (O, O) ∈ Φ0(H). (2.2.5)
dg G −1 (O,O) : T G −1 (O,O)(T M) −→ T g(G −1 (O,O))(M × H), (2.2.6)
inoltre, localmente in G−1 (O, O), T M (letto in una banalizzazione locale) è della forma U × H
(U ⊂ M) e di conseguenza g è della forma g = g(u, h), segue che (2.2.6) si può scrivere come
g11 g12
g21 g22
in cui, in particolare, g22 = ∂g2
∂h (G−1 (O,O)). Indicate con p2 : T g1(G −1 (O,O))M × H −→ H e con
ι2 : {O}×H → H×H rispettivamente le applicazioni di proiezione sul secondo fattore e di inclusione,
essendo nota la forma del differenziale di G (cfr. equazione 2.2.2), si ottiene
d[h(O, · )]O = p2 ◦ d g ◦ G −1
◦ ι2
(O,O)
= p2 ◦ dgG−1 (O,O) ◦ dG −1 (O,O) ◦ ι2
= 0 1
g11 g12 id 0 0
= g22.
g21 g22 −id id 1
Infine, g22 = ∂g2
∂h (G−1 (O,O)) è evidentemente un elemento di Φ0(H) infatti, per definizione di
isomorfismo di fibrati, la restrizione di g a ciascuna fibra di T M è un isomorfismo lineare, quindi
∂g2
∂h (G−1 (O, O)) = g2(G −1 (O, O)) = g| g1(G −1 (O,O)) ∈ Φ0(H).
RAUL TOZZI