Immersioni aperte in dimensione infinita - Dipartimento di Matematica

82 Geometria differenziale in dimensione infinita
Ricordando il teorema C.42 sull’esistenza di partizioni dell’unità, consideriamo la seguente
proposizione:
Proposizione C.51. Sia M una varietà che ammetta partizioni dell’unità, e π : X → M un fibrato
vettoriale le cui fibre siano spazi vettoriali Hilbertabili. Allora π ammette una metrica Riemanniana.
Dimostrazione. Senza ledere la generalità, supponiamo che M sia connessa, in modo tale che ogni
fibra Xp di X possa essere assunta toplinear-isomorfa ad un fissato spazio di Hilbert E. Sia {Ui, ϕi}
una partizione dell’unità tale che π ristretto a Ui sia banale, esista cioè per ogni i una banalizzazione
locale τi : π −1 (Ui) → Ui × E. Si consideri adesso una metrica Riemanniana su Ui × E e si determini
per trasporto della struttura una metrica Riemanniana gi su π −1 (Ui). Posta g := ϕi gi, una
verifica standard mostra che g è una metrica Riemanniana su X.
In particolare, se applichiamo il risultato espresso dalla proposizione C.51 al fibrato tangente
T M si ottiene una metrica Riemanniana g su di esso. In questo caso diremo anche che g è una
metrica Riemanniana su M.
Definizione C.52. Sia (M, g) una varietà Riemanniana. Definiamo la lunghezza Lg(σ) di una
curva di classe C1 σ : [a, b] → M mediante
Lg(σ) : def
=
b
a
.σ(t), . 1/2 gσ(t) σ(t) dt =
b
a
|σ(t)|g dt. (C.4.1)
Chiaramente possiamo estendere la nozione di lunghezza a tutte le curve C 1 a tratti, prendendo la
somma delle lunghezze dei tratti lungo cui la curva è di classe C 1 .
La metrica intrinseca ρ M su M associata a g è definita da
ρM (x, y) : def
= inf Lg(σ) : σ(a) = x, σ(b) = y . (C.4.2)
Diremo che g è una metrica Riemanniana completa se M è uno spazio metrico completo rispetto
alla metrica ρ. Dal corollario 1.5 pag. 2 sappiamo che ogni varietà a base numerabile modellata su
uno spazio di Hilbert separabile ammette una metrica Riemanniana completa.
Osservazione C.53. Se M è una varietà Riemanniana (connessa) completa di dimensione finita,
allora, per il teorema di Hopf-Rinow ogni coppia di punti di M può essere collegata da una geodetica
minimizzante. Per le varietà di dimensione infinita questo teorema non è più vero, come è
evidenziato dai seguenti controesempi.
Controesempio C.54. Sia H uno spazio di Hilbert reale separabile di dimensione infinita. Indicata
con (en)n≥0 una sua base ortonormale, sia T : H → H l’operatore definito da
T xnen = anxnen,
in cui a0 = 1 e, per ogni n ≥ 1, an = 1 + 1/2n . Si noti che T è un operatore lineare iniettivo e che
|x| ≤ T x ≤ 3
2 |x|, dunque T è un diffeomorfismo di H su H. Indicata con S la sfera unitaria di
H, X := T (S) è una sottovarietà chiusa di H. Dotiamo X della metrica indotta da H.
Sia σ una curva in S da e0 a −e0. Allora T σ è una curva in X da e0 a −e0, inoltre
L T σ ≥ L(σ).
Quindi la lunghezza di una qualsiasi curva in X che collega e0 a −e0 è maggiore o al più eguale di
π, ossia la minima lunghezza delle curve in S che collegano i punti e0 e −e0.
D’altra parte, se indichiamo con σn l’arco di cerchio massimo che collega i punti e0 e −e0 nel
semispazio positivo generato da e0 ed en, allora, nella notazione introdotta in (C.4.2)
L n
T σn < 1 + 1/2 π −−−−−→
n→+∞ π = ρX(e0, −e0).
Si conclude che non esiste alcuna curva minimizzante che collega in X i punti e0 e −e0.
IMMERSIONI APERTE IN DIMENSIONE INFINITA