Immersioni aperte in dimensione infinita - Dipartimento di Matematica

C.4 Varietà Riemanniane 81
Sia τ una banalizzazione locale di π su un aperto U di X:
π−1 τ
(U)
U × E
π
π1
U
Allora possiamo trasportare al prodotto U × E la restrizione all’insieme π −1 (U) di una assegnata
metrica pseudo-Riemanniana g su X. Nella rappresentazione in una carta locale, ciò significa che
per ogni x ∈ U possiamo identificare g(x) con un operatore simmetrico invertibile Ax ∈ End(E) che
rappresenta la metrica data. Nel caso in cui l’assegnata metrica pseudo-Riemanniana sia coerciva,
l’operatore Ax è definito positivo.
Esempio C.49. Sia S uno spazio topologico compatto, M una varietà Riemanniana di classe C ∞ ,
ed X := C(S, M) lo spazio delle applicazioni continue da S a M, con la topologia indotta dalla
metrica definita da
ρX(x, y) := sup ρM x(s), y(s) .
s∈S
Allora X è una varietà di classe C ∞ modellata su uno spazio di Banach reale. Precisamente, se
x ∈ X, allora TxX è lo spazio delle applicazioni continue u: S → T M tali che
π ◦ u(t) = x(t),
le operazioni essendo definite punto per punto, inoltre
|u| x = sup
|u(s)| x(s) .
Rendiamo adesso un poco più rigorosa l’affermazione secondo cui X è una varietà di Banach di
classe C ∞ . Sia ε ∈ R + sufficientemente piccolo, in modo tale che ogni punto in M la cui distanza
da x(s) sia minore di ε sia connettibile a x(s) tramite un unico arco di geodetica minimizzante.
Allora la mappa ψ definita da
def
ψ(u) (s) : = expx(s) u(s)
è un omeomorfismo dalla ε-palla aperta di TxX con un intorno di x. La totalità di questi intorni
coordinati fornisce una struttura di classe C ∞ per X.
Esempio C.50. Lorch e Laugwitz [Lo 63] utilizzarono le metriche Riemanniane negli spazi di
Hilbert per studiare alcune proprietà dei corpi convessi. Essi procedettero come segue. Sia H uno
spazio di Hilbert e G una funzione di classe C ∞ su H \ {0} tale che G(x) > 0 e G(tx) = t 2 G(x) per
t > 0. Allora la forma g x definita da g x(u, v) := d 2 G x(u, v) è bilineare e simmetrica. Supponiamo
che esistano costanti positive L, M tali che per ogni x, y
Allora l’insieme
L |y | 2 ≤ gx(y, y) ≤ M |y | 2 .
K := x : 2G(x) ≤ 1
è un insieme convesso e g è detta la metrica Riemanniana associata a K. Se K è la palla unitaria
chiusa, allora g è la metrica Riemanniana usuale.
Possiamo scrivere anche
gx(u, v) = 〈Axu, v〉,
in cui Ax è un operatore autoaggiunto e 〈·, ·〉 denota il prodotto scalare su H. La mappa x ↦→ Axx
è un omeomorfismo 2-periodico di H. L’immagine di K mediante questa mappa è detta il suo corpo
convesso coniugato. Per i dettagli ed ulteriori osservazioni si faccia riferimento a [Lo 63].
RAUL TOZZI