Immersioni aperte in dimensione infinita - Dipartimento di Matematica

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106 Spray Si osservi che la composizione ha senso, infatti dπ : T (T M) → T M applica il doppio fibrato tangente T (T M) nel fibrato tangente T M, come esplicato dal seguente diagramma: T (T M) F T (T M) dπ T M T M Definizione F.2. Dato un campo di vettori del second’ordine F , una curva integrale per F con condizione iniziale v è una curva β : J → T M che applica un intervallo aperto J di R (contenente 0) in T M, tale che β(0) = v e β ′ (t) = F β(t) per ogni t in J. Proposizione F.3. Un campo di vettori F : M → T M è un campo di vettori del second’ordine su M se e solo se esso ogni curva integrale β di F coincide col sollevamento canonico (πβ) ′ della proiezione canonica πβ di β su M, i.e. (πβ) ′ = β. Dimostrazione. La prova è una conseguenza immediata delle definizioni, infatti, presa comunque una curva integrale β di F , si ha che (πβ) ′ = dπ ◦ β ′ = dπ ◦ F ◦ β = (dπ ◦ F ) ◦ β = β ⇐⇒ dπ ◦ F = id. Definizione F.4 (Geodetica). Sia α: J → M una curva in M, definita su un intervallo J ⊂ R. Diremo che α è una geodetica rispetto a F se la curva α ′ : J → T M è una curva integrale per F . Osservazione F.5. Poiché πα ′ = α, possiamo esprimere equivalentemente la condizione di geodetica richiedendo che α soddisfi la relazione α ′′ = F (α ′ ). Questa relazione per la curva α è detta un’equazione differenziale del second’ordine per α determinata da F . Si osservi inoltre che se β : M → T M è una curva integrale per F , allora πβ è una geodetica per il campo vettoriale del second’ordine F . F.2.1 Rappresentazione locale di un campo del second’ordine Sia (V, ϕ) una carta di M e ϕ(V ) = U il corrispondente sottoinsieme aperto dello spazio di Banach E, quindi T U = U × E e T (T U) = T U × T E = (U × E) × (E × E). Allora la rappresentazione di π : T M → M nella carta data è semplicemente la proiezione π : U × E → U. Abbiamo il seguente diagramma commutativo: La mappa dπ è data da (U × E) × (E × E) U × E π dπ U × E Ogni campo vettoriale su U × E ha una rappresentazione locale U dπ(x, v, u, w) = (x, u). (F.2.2) f : U × E → E × E che ha perciò due componenti, f = (f1, f2), in cui f1, f2 : U × E → E. La prossima proposizione fornisce una descrizione dei campi vettoriali del second’ordine in una carta assegnata. IMMERSIONI APERTE IN DIMENSIONE INFINITA
F.3 Spray 107 Proposizione F.6. Siano U un aperto dello spazio di Banach E, e T U = U ×E il fibrato tangente sopra U. Una mappa f : U × E → E × E è la rappresentazione locale di un campo vettoriale del secondo ordine su U sse f(x, v)= v, f2(x, v) , i.e. ∀ (x, v) ∈ U × E f1(x, v) = v. (F.2.3) Dimostrazione. Se f è la rappresentazione locale di un campo vettoriale del secondo ordine allora per la condizione F.2.1 ∀ (x, v) ∈ U × E dπ ◦ x, v, f(x, v) = dπ x, v, f1(x, v), f2(x, v) (F.2.2) = x, f1(x, v) (F.2.1) = (x, v). (F.2.4) Viceversa, se ∀ (x, v) ∈ U × E f1(x, v) = v allora, in virtù della forma locale (F.2.2) di dπ, l’equazione F.2.4 precedente ci dice che la condizione F.2.1 che caratterizza i campi vettoriali del secondo ordine è soddisfatta, quindi f è la rappresentazione locale di un campo vettoriale del second’ordine. Nel seguito studieremo un tipo speciale di campi vettoriali del secondo ordine: gli spray. F.3 Spray Sia r un numero reale, e π : X → M un fibrato vettoriale modellato su E. Se v appartiene a X, dunque appartiene a Xp per qualche p in M, poiché Xp è uno spazio vettoriale, rv è nuovamente in Xp. Denoteremo con r X : X → X la mappa data da questa moltiplicazione scalare; r X è invero un morfismo di fibrati, e persino un isomorfismo di fibrati se r = 0. Inoltre d(r X ): T X → T X. In particolare, quando X = T M è il fibrato tangente alla varietà M abbiamo r T M : T M → T M r T T M : T (T M) → T (T M) d rT M : T (T M) → T (T M). Dunque sono definite le composizioni d(r T M ) ◦ r T T M e r T T M ◦ d(r T M ), inoltre vale l’uguaglianza d(rT M ) ◦ rT T M = rT T M ◦ d rT M . (F.3.1) In particolare, la relazione (F.3.1) segue dalla linearità di r T M su ciascuna fibra, e può essere dedotta direttamente dalla rappresentazione in carte locali fornita nella sottosezione F.3.1. Definizione F.7 (Spray). Uno spray su M è un campo vettoriale del second’ordine S : T M → T (T M) che soddisfa la seguente condizione quadratica omogenea: SPR 1. Per ogni r in R e v in T M, S(rv) = d(r T M ) rS(v) . d(r T M ) T (T M) T (T M) rS S(r ·) T M RAUL TOZZI
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Capitolo 2 Embedding aperti di vari
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2.1 Introduzione 23 applicazione ξ
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