Immersioni aperte in dimensione infinita - Dipartimento di Matematica

E.1 Un esempio notevole: la mappa esponenziale 103
Per ogni p ∈ M, d(exp p)O = id, dunque, in particolare, per il teorema della funzione inversa la
mappa esponenziale in p è un diffeomorfismo locale in un intorno dell’origine in TpM, esistono cioè
intorni U di O in TpM e V di p in M tali che exp p |U : U → V sia un diffeomorfismo.
Il differenziale (E.1.1) di exp p in un generico punto v di TpM può essere calcolato usando
l’equazione di Jacobi come segue. Indicata con σv(t) = exp p(tv) l’unica geodetica uscente da p
nella direzione v, per ogni t ∈ R + e ogni w ∈ TpM risulta
d(exp p) tv(tw) = J(t), (E.1.2)
in cui J ∈ T (σ) è l’unica soluzione del seguente problema ai valori iniziali per l’equazione di Jacobi:
⎧
⎪⎨ D
⎪⎩
2 .
J + R .
J σσ
= O
D0J = w
(E.1.3)
J(0) = O.
Indichiamo con ˜σt : T σ(0)M → T σ(t)M il trasporto parallelo lungo σ determinato da ∇ da p = σ(0)
a σ(t). Ricordiamo che il trasporto parallelo relativo alla connessione di Levi-Civita è un’isomorfismo
lineare isometrico, inoltre, siccome ˜σt e ∇ . σ commutano, possiamo riscrivere (E.1.3) come un
problema ai valori iniziali su TpM ∼ = H:
⎧
⎪⎨
d
⎪⎩
2
dt2 u(t) + A(t)u(t) = O
du
dt (0) = w
(E.1.4)
u(0) = O,
in cui J(t) = ˜σt ◦ u(t) e A(t) := ˜σ −1
t ◦ R . σ ◦ ˜σt = ˜σ −1
(E.1.4) in quanto:
• ˜σ −1
t
•
• ˜σ −1
t
• ˜σ −1
0
D 2 J = ˜σ −1
t
˜σ −1
t
.
RJ .
σ
σ = ˜σ −1
.
t ◦ R .
˜σt σ
∇ .
σ∇ . σ ˜σt ◦ u = ∇ . σ∇ . −1
σ ˜σ t ◦ ˜σt ◦ u = d2u dt2 ;
t
∇˜σt◦u∇ . .
σ
.
σ − ∇ . σ∇˜σt◦u σ − ∇ .
[˜σt◦u, σ] σ =
= ˜σ −1
t
2 .
D J + RJ .
σσ
= ˜σ −1
2 −1
t D J + ˜σ t
D0J = D0(u) = du
dt
∇˜σt ∇ . .
σ
.
RJ .
σ
(0) = ˜σ−1 0 (w) = w.
σ. Precisamente, da (E.1.3) si deduce
.
.
σ − ∇ . σ∇˜σt σ − ∇ .
[˜σt, σ] σ ◦ u = ˜σ −1
σ = ˜σ −1
t (O) = O;
.
.
t ◦ R .
˜σt σ
σ ◦ u;
Poiché un operatore lineare compatto è limitato (per ipotesi, per ogni t, R .
· σ(t) σ(t) è compatto),
si ha che, per ogni t, l’operatore lineare A(t) è continuo; inoltre, la dipendenza t ↦→ A(t) è di
classe C∞ , quindi dal teorema standard di esistenza ed unicità della soluzione per le equazioni
differenziali lineari negli spazi di Hilbert segue che il problema di Cauchy E.1.4 è globalmente
ben posto e l’operatore di evoluzione U(t): H → H che assegna ad ogni w ∈ H l’unica soluzione
U(t)(w) = u(t) è limitato nella norma di H.
Riscriviamo l’equazione differenziale del sistema E.1.4 come un’equazione integrale, precisamente:
u(t) = tw −
t s
0
0
A(r)u(r) drds = tw −
t s
0
0
A(r)U(r)(w) drds. (E.1.5)
Sia (wn) una successione limitata in H. Siccome la composizione di un operatore limitato con un
operatore compatto dà luogo ad un operatore compatto, la successione yn(r) := A(r) U(r)(wn)
ammette, per ogni r, una sottosuccessione convergente in H: sia essa ynk (r) . Chiaramente, ynk (r)
dipende in modo continuo da r. Posto
unk :=
1 s
0
0
RAUL TOZZI
ynk (r) drds,
.