Immersioni aperte in dimensione infinita - Dipartimento di Matematica

2.5 Filtrazioni di Fredholm augmentate 39
(1): Siccome Hn ⊂ Hn+1 e perciò H n+1 ⊂ H n , si ha che Yn × H n+1 ⊂ Yn × H n . Inoltre, da
Mn ⊂ Mn+1 segue che per ogni n in N Yn ⊂ Yn+1 e quindi Yn × H n+1 ⊂ Yn+1 × H n+1 . Dunque
Sn| Yn×H n+1 :=
S| Yn×H n |Yn×H n+1 = S| Yn×H n+1 =
S| Yn+1×H
n+1 |Yn×H n+1 =: Sn+1|
Yn×H n+1.
Verifichiamo la proprietà (2) secondo cui Sn è un’iniezione di fibrati, ossia, in altri termini, Sn
è un morfismo di fibrati la cui restrizione ad ogni fibra è un’applicazione lineare iniettiva. Fissato
x in Yn consideriamo
Sn,x := Sn| {x}×H n : {x} × H n → TxYn
e verifichiamo che il suo nucleo è ridotto al solo vettore nullo, i.e.,
ker Sn,x = v ∈ H n : S(x, v) = h
i=1 µ j(i) (x)
−1(v)
d(ϕj(i)) x = O = {O}.
Ora µj ≥ 0, dunque la somma di cui sopra si annulla se e solo se per ogni i, −1(v) d(ϕj(i) ) x = O,
se e solo se v = O.
Verifichiamo la proprietà (3): supponiamo che Wj ∩ Mn = ∅ (dunque Wj ⊂ Yn), ed indichiamo
con j(1), . . . , j(p) gli indici che occorrono nell’unione che definisce St(Wj) (si ricordi che {Wj}j≥1 è
un ricoprimento numerabile star-finito). Allora per (x, v) ∈ Wj × Hn ⊂ Yn × Hn , essendo (µj)j≥1
subordinata al ricoprimento {Wj}j≥1,
(dϕj) ◦ Sn(x, v) = (dϕj) ◦ S |Yn×H n (x, v) = (dϕj) ◦ p
i=1 µ j(i)(x) S j(i) (x, v)
= d(ϕj)x ◦ p
i=1 µ j(i)(x) −1(v) p
d(ϕj(i))x =
i=1 µ j(i)(x) d(ϕj)x ◦ −1(v) d(ϕj(i))x = p
i=1 µ j(i)(x) d(ϕj)x ◦ d ϕ −1
p
j(i) (v) = ϕj(i)(x) i=1 µ j(i)(x) d ϕj ◦ ϕ −1
j(i) ϕj(i)(x) (v).
Per la proprietà (ii) della definizione di atlante layer forte si ha che per ogni y ∈ ϕ j(i)(W j(i) ∩ Wj),
ϕj ◦ ϕ −1
j(i) (y) ∈ H n(Wj) + I(y), e quindi
d ϕj ◦ ϕ −1
j(i)
ϕj(i)(x) : v ∈ ϕj(i)(x) × H n ↦−→ d ϕj ◦ ϕ −1
j(i)
da cui, essendo H n(Wj) uno spazio vettoriale, la proprietà (3) segue.
2.5.2 Estensione degli omeomorfismi ed intorni standard
ϕ j(i)(x) v ∈ ϕj(x) × H n(Wj) + v ,
Definizione 2.49. Un’applicazione continua f : X → Y è detta un omeomorfismo locale se per
ogni x ∈ X esistono aperti A ⊂ X e B ⊂ Y tali che x ∈ A, f(A) = B e la restrizione f|A : A → B
è un omeomorfismo.
Definizione 2.50. Siano M, N varietà di classe C ∞ ; un’applicazione F : M → N si dice un
diffeomorfismo se è C ∞ e invertibile, con inversa anch’essa C ∞ . Un’applicazione F : M → N si
dice un diffeomorfismo locale se per ogni m ∈ M esiste un aperto U ⊆ M con m ∈ U tale che
F (U) ⊆ N è aperto e la restrizione F |U : U → F (U) è un diffeomorfismo.
Lemma 2.51. Ogni omeomorfismo locale è un’applicazione aperta.
Dimostrazione. Sia f : X → Y un omeomorfismo locale e sia V ⊂ X un aperto. Vogliamo dimostrare
che f(V ) è intorno di ogni suo punto, ossia che per ogni y ∈ f(V ) esiste un aperto U ⊂ Y
tale che y ∈ U ⊂ f(V ). Sia x ∈ V tale che f(x) = y, per ipotesi esistono aperti A ⊂ X e B ⊂ Y tali
che x ∈ A, f(A) = B e la restrizione f|A : A → B è un omeomorfismo. In particolare y ∈ f(V ∩ A),
U = f(V ∩ A) è aperto in B e quindi anche in Y .
Consideriamo il seguente teorema:
RAUL TOZZI