Immersioni aperte in dimensione infinita - Dipartimento di Matematica

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60 Embedding aperti di varietà di dimensione infinita ℓn Mn × H n ∪ D 0 n jn Gn+1 U 0 n+1 × Hn+1 Un+1 × H n+1 ∩ Mn+1 × H n+1 ∪ D 0 n+1 ∩ ∩ Jn+1,1 Mn+1 × Hn+1 gn H gn+1 d −1 1 ◦ ˜g H id (2.7.14) Con la terminologia introdotta nella sezione 2.3, grazie al lemma precedentemente dimostrato, possiamo finalmente dimostrare il seguente importante Teorema. Teorema 2.78. Sia M una varietà separabile, metrizzabile, di classe C ∞ modellata su uno spazio di Hilbert separabile H di dimensione infinita. Allora esiste un embedding di classe C ∞ da M su un sottoinsieme aperto di H. Dimostrazione. Per il corollario 2.34 esiste una mappa di classe C ∞ , Fredholm di indice zero, limitata e propria f : M → H trasversa ad Hn per ogni n in N. Invochiamo la proposizione 2.44 e dotiamo M di un atlante layer forte per f. Costruiamo per ogni n una applicazione Sn come prescritto dal lemma 2.46, dunque determiniamo intorni standard delle varietà Mn come indicato dalla proposizione 2.63 ed otteniamo quindi una filtrazione di Fredholm augmentata (Zn)n (come indicato dal teorema 2.65). Le ipotesi di applicabilità della proposizione 2.75 sono verificate, infatti per il teorema di Kuiper esiste una banalizzazione globale per il fibrato tangente ad M, inoltre, per l’osservazione 2.74 tale banalizzazione può essere assunta di tipo layer. Nelle notazioni della proposizione 2.75, posto ξn := gn ◦ T −1 n | Z 0 n , ξn è un embedding aperto di Z 0 n in H. Poiché D 0 n ⊂ D 0 n, per la parte (a) della proposizione 2.75, ξn+1 è una estensione di ξn. Siccome per il punto (2) del teorema 2.65, M = n∈N Z0 n segue che gli ξn definiscono un embedding aperto di M in H. IMMERSIONI APERTE IN DIMENSIONE INFINITA
Appendice A Propedeuticità topologiche A.1 Ricoprimenti Sia X uno spazio topologico; un ricoprimento aperto di X, come noto, è una collezione U = {Uα}α∈A di aperti che ricoprono X, nel senso che X = α∈A Uα. Definizione A.1. Sia X uno spazio topologico e U = {Uα}α∈A un ricoprimento aperto di X. • Un sottoricoprimento di U è un sottoinsieme V ⊂ U che sia a sua volta un ricoprimento di X, in altri termini, V = {Vβ}β∈B è un sottoricoprimento di U = {Uα}α∈A se è un ricoprimento di X e per ogni β ∈ B esiste α = α(β) ∈ A tale che Vβ = Uα. • Un raffinamento di U è un ricoprimento V = {Vβ}β∈B di X tale che ∀ β ∈ B, ∃! α = α(β) ∈ A per cui Vβ ⊂ Uα. • Un raffinamento shrunk di U è un ricoprimento V = {Vα}α∈A di X tale che ∀α ∈ A, V α ⊂ Uα. • U = {Uα}α∈A è detto puntualmente finito se per ogni x in X esistono al più un numero finito di indici α ∈ A per cui x ∈ Uα. • U = {Uα}α∈A è detto localmente finito se ogni x ∈ X ammette un intorno aperto U ∋ x tale che U ∩ Uα = ∅ tranne che per un numero finito di indici α ∈ A (i.e., U interseca solo un numero finito di elementi Uα del ricoprimento). Sia U = {Uα}α∈A un ricoprimento di uno spazio X. Per ogni C ⊂ X, si definisce la stella di C rispetto a U, e si denota con St(C, U), l’insieme ⋆(C, U) = St(C, U) := {Uα : C ∩ Uα = ∅}, ossia l’unione estesa a tutti gli insiemi del ricoprimento che hanno intersezione non vuota con C. Quando U sarà implicito dal contesto scriveremo semplicemente St(C) in luogo di St(C, U). Diremo che U è star-finito se per ogni α ∈ A, Uα interseca solamente un numero finito di Uβ, i.e., per ogni α, l’unione che definisce St(Uα) è estesa ad un numero finito di indici. Definizione A.2. Un ricoprimento B di uno spazio X è detto un raffinamento baricentrico di un dato ricoprimento U se il ricoprimento St(x, B) : x ∈ X di X raffina U. Definizione A.3. Sia (X, τ) uno spazio topologico. Diremo che • X è compatto se ogni ricoprimento aperto di X ammette un sottoricoprimento finito; • X è localmente compatto se ∀ x ∈ X esiste U ∈ τ tale che x ∈ U e U ⊂ X è compatto; • X è paracompatto se è di Hausdorff ed ogni ricoprimento aperto di X ammette un raffinamento localmente finito. 61
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Università degli Studi di Pisa Fac
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Prefazione L’obiettivo principale
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S 1 , che certamente non ammette un
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Notazioni Notazioni di uso corrente
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xii INDICE C.2.2 Fibrati Hilbertian
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2 Fenomeni della dimensione infinit
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Appendice G Analisi funzionale line
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G.2 Richiami di analisi lineare neg
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G.3 Piega in dimensione infinita 11
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Bibliografia [Abr 62] R. Abraham, L
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BIBLIOGRAFIA 123 [Hir 94] M. Hirsch
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BIBLIOGRAFIA 125 [Wa 60] C.T.C. Wal
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