Immersioni aperte in dimensione infinita - Dipartimento di Matematica

2.6 Raffinamento delle tecniche layer 51
una mappa (denotata ancora con j−1 n ) da Un+1 × Hn+1 a Mn × Hn (infatti, siccome a meno di
una proiezione jn è T −1
n+1 ◦ Tn, e siccome Tn è un diffeomorfismo su un intorno aperto (standard)
della sezione nulla, esiste un aperto la cui immagine omeomorfa tramite jn sia Un+1 × Hn+1 , i.e.,
Un+1 × Hn+1 è incluso nell’immagine iniettiva mediante jn di un certo aperto):
j −1
n : Un+1 × H n+1 −→ Mn × H n .
Proposizione 2.69. L’applicazione jn definita in (2.6.6) è iniettiva.
Dimostrazione. Siano (x, u1) = (x, u2) tali che πn+1u1 = πn+1u2. Dunque π n+1 u1 = π n+1 u2
e quindi jn(x, u1) = jn(x, u2). D’altra parte se πn+1u1 = πn+1u2 allora anche in questo caso
jn(x, u1) = jn(x, u2), infatti, poiché ℓn è iniettiva, posti ū1 := πn+1u1 e ū2 := πn+1u2, se fosse
λn(x, ū1) = λn(x, ū2) allora dovrebbe essere π n+1 ū1 = π n+1 ū2, ma ciò non è possibile essendo
π n+1 ū1 = π n+1 πn+1u1 = 0 = π n+1 πn+1u2 = π n+1 ū2. Dunque λn(x, πn+1u1) = λn(x, πn+1u2) e
quindi jn(x, u1) = jn(x, u2). Analogamente si argomenta se (x, u1) = (y, u2) in cui x = y e u1 = u2.
Infine, se x = y allora anche in quest’ultimo caso jn(x, u) = jn(y, u), infatti, posto come prima
ū = πn+1u, poiché ℓn è iniettiva risulta ℓn(x, ū) = ℓn(y, ū), da cui segue λn(x, ū) = λn(y, ū) sse
λn(x, πn+1u) = λn(y, πn+1u) e quindi jn(x, u) = jn(y, u).
Nel seguito sarà utile anche il seguente lemma (per la definizione di isotopia di embedding si
rimanda alla sezione D.5, definizione D.11):
Lemma 2.70. Sia Y una varietà compatta con bordo (ivi compreso il caso in cui ∂Y = ∅) e Z0
una sottovarietà aperta di una varietà Z. Sia B uno spazio di Banach ed f : R × Z → R × (Y × B)
una isotopia di embedding con dominio proprio I = [0, 1] della forma f(t, z) = t, a(t, z), b(z) , tale
che f
I × Z0 sia contenuto in R × Int(Y ) × B e sia chiuso in R × Y × B.
Allora esiste una isotopia di embedding F : R × (Y × B) → R × (Y × B) con dominio proprio I
della forma F (t, y, b) = t, A(t, y, b), b , tale che
(i) F (0, y, b) = (0, y, b) per ogni (y, b) ∈ Y × B;
(ii) F 1, f0(z) = F 1, a(0, z), b(z) = 1, a(1, z), b(z)
F 1, a(0, z), b(z) = 1, a(1, z), b(z)
F 1, a(0, z), b(z) = 1, a(1, z), b(z) = 1, f1(z) = f(1, z) per ogni z ∈ Z0; (iii) F (t, y, b) = (t, y, b) in un intorno di R × ∂Y × B.
Dimostrazione. La tecnica con cui si dimostra questo tipo di enunciati è sempre la stessa: si determina
una isotopia che soddisfa le proprietà richieste per integrazione di un campo vettoriale
opportuno. Poi si modifica se necessario la soluzione ottenuta per mezzo di funzioni cut-off o
funzioni a campana.
Lo schema dimostrativo segue la falsa riga della dimostrazione del lemma di Thom, come indicato
nel testo di Hirsch [Hir 94], Capitolo 8 oppure in [Th 57]. Per una dimostrazione dettagliata si faccia
comunque riferimento a [El 72].
Notazioni. Denotiamo con U 0 n, λ 0 n, ℓ 0 n, j 0 n, D 0 n gli oggetti corrispondenti a Un, λn, ℓn, jn, Dn,
utilizzando Z 0 n anziché Z n (si ricordi che le notazioni Zn, Z 0 n sono state introdotte nel teorema 2.65).
Lemma 2.71. Esiste una isotopia con dominio proprio I
Jn+1 : R × Mn+1 × H n+1 → R × Mn+1 × H n+1
della forma Jn+1(t, x, v) = t, gt(x, v), v , tale che
(i) Jn+1,0 = id,
(ii) Jn+1,1|ℓn( D 0 n)
RAUL TOZZI