Immersioni aperte in dimensione infinita - Dipartimento di Matematica

102 Mappe di Fredholm: teoria non lineare
Definizione E.16. Sia ∇ una connessione su un fibrato vettoriale π : X → M, e σ : [0, 1] → M
una curva. Poniamo p0 = σ(0) e p1 = σ(1). Dato v ∈ Xp0, l’unica sezione V ∈ E(σ) parallela lungo
σ tale che V (0) = v ∈ Xp0 è detta estensione parallela di v lungo σ. Il trasporto parallelo lungo σ
(relativo a ∇) è l’applicazione ˜σ : Xp0 → Xp1 definita da ˜σ(v) = V (1), dove V ∈ E(σ) è l’estensione
parallela di v ∈ Xp0 .
Definizione E.17. Sia ∇ una connessione lineare su una varietà M. Una geodetica per ∇ è una
curva σ : I → M tale che D . σ ≡ 0. In altre parole σ è una geodetica se e solo se il vettore tangente
.
σ è parallelo lungo σ.
Definizione E.18. Una connessione ∇ su una varietà M è detta simmetrica se
∇XY − ∇Y X = [X, Y ]
per ogni X, Y ∈ T (M). Una connessione ∇ su una varietà Riemanniana (M, g) è detta una
connessione Riemanniana se è simmetrica e il trasporto parallelo lungo una qualsiasi curva è
un’isometria.
Osservazione E.19. Esiste un’unica connessione Riemanniana corrispondente ad una data metrica
Riemanniana. Essa può essere calcolata usando l’identità
2g ∇XY, Z = Xg(Y, Z) + Y g(X, Z) − Zg(X, Y ) + g [X, Y ], Z + g [Z, X], Y + g X, [Z, Y ] .
Questa connessione è detta la connessione di Levi-Civita della varietà Riemanniana.
La dimostrazione dettagliata dell’esistenza ed unicità della connessione di Levi-Civita si può
trovare nel testo di Lang [Lan 01], teorema 4.1, pag. 209.
Proposizione E.20 ([Lan 01] 1.1, pag. 231). Esiste un unico campo di tensori
definito da
R: T (M) × T (M) → T (M)
R(X, Y, Z) := RXY Z def
=
∇X, ∇Y Z − ∇[X,Y ]Z.
Grossman [Gro 65] ha fornito alcuni esempi espliciti di sottovarietà chiuse di codimensione
uno di uno spazio di Hilbert reale separabile la cui metrica Riemanniana indotta ha una mappa
esponenziale associata exp x : TxM → M che non è Fredholm di indice zero. Precisamente, egli ha
fornito alcuni esempi in cui d(exp x)v è iniettivo ma non surgettivo, surgettivo ma non iniettivo, e
persino esempi in cui l’immagine del differenziale d(exp x)v è un sottospazio denso del codominio
T σv(1)M (σv essendo l’unica geodetica in M uscente da x nella direzione determinata da v).
D’altra parte, come dimostrato dal seguente teorema, si prova che sotto opportune ipotesi sul
tensore di curvatura, la mappa esponenziale associata alla connessione di Levi-Civita di una varietà
Riemanniana è sempre Fredholm di indice zero.
Teorema E.21. Sia (M, g) una varietà Riemanniana completa modellata su uno spazio di Hilbert
H. Indicata con ∇ la connessione di Levi-Civita della varietà M, supponiamo che per ogni p ∈ M
e per ogni w ∈ TpM l’endomorfismo di TpM definito da v ↦→ Rvww = ∇v∇ww − ∇w∇vw − ∇ [v,w]w
sia compatto. Allora la mappa esponenziale in p, exp p : TpM → M, è una mappa di Fredholm non
lineare di indice zero.
Dimostrazione. Sia v ∈ TpM e σv l’unica geodetica in M uscente da p nella direzione determinata
da v. Dimostriamo che la mappa lineare
d(exp p)v : Tv(TpM) → T σv(1)M, (E.1.1)
è un operatore lineare continuo Fredholm di indice zero (si noti che, essendo TpM ∼ = H uno spazio
vettoriale, possiamo identificare canonicamente Tv(TpM) con TpM).
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