Immersioni aperte in dimensione infinita - Dipartimento di Matematica

16 Fenomeni della dimensione infinita
coincide evidentemente con g.
Esibiremo nel seguito due omotopie che deformeranno successivamente attraverso elementi di
GL ogni elemento g ∈ V in c (g) = id idH
H ∈ GL. Precisamente, definiremo una prima omotopia
da g = h a h ′ , in cui h ′ è data dalla matrice infinita
⎧
h
⎪⎨
⎪⎩
′ ij = 0
h
se i = j,
′ 2i,2i = g−1 1 se i ≥ 1,
h ′ 2i+1,2i+1 = g1 se i ≥ 1,
h ′ 11 = g1
e quindi definiremo una seconda omotopia da h ′ a h ′′ , essendo
⎧
⎪⎨ h
⎪⎩
′′
ij = 0 se i = j,
h ′′
−1
2i−1,2i−1 = g1g1 = 1
se i ≥ 1,
se i ≥ 1,
h ′′
2i,2i
i.e., h ′ = g 1, g −1
1 , g 1, g −1
1 , g 1, . . .
i.e., h ′′ = g 1g −1
1 , 1, g 1g −1
1 , 1, g 1g −1
1 , . . . = [1, 1, 1, 1, 1, . . .].
Una omotopia da h a h ′ è la seguente, applicata ad ogni coppia di elementi consecutivi della
diagonale di h (gli altri essendo tutti zero) a partire dal secondo elemento:
−1
cos θ − sin θ g1 0 cos θ sin θ g
θ ∈ [0, π/2] ↦−→
1 0
. (1.6.2)
sin θ cos θ 0 1 − sin θ cos θ 0 1
La mappa 1.6.2 realizza una omotopia tra [g −1
1 g1, 1] (θ = 0) e [g −1
1 , g1] (θ = π/2). Infatti, quando
θ varia in [0, π/2],
cos θ
− sin θ g1
0
sin θ cos θ 0 1
va da
g1 0 0 −1
0 1 a g1 0 . Così, quando θ va da 0 a π/2,
cos θ
− sin θ g1
0 cos θ
sin θ
sin θ cos θ 0 1 − sin θ cos θ
va da
g1 0 1 0
0 1 a 0 g1
. Si deduce quindi che per θ in [0, π/2], (1.6.2) realizza una omotopia tra
−1
−1
g1 g1 0 g e 1 0 .
0 1 0 g1
È facile dimostrare che gli operatori lineari che deformano h in h ′ al variare di θ in ]0, π/2[ sono
tutti continui. Inoltre è standard riparametrizzare questa trasformazione, parametrizzata da 0 a
π/2, in una usuale omotopia parametrizzata tra 0 e 1.
Allo stesso modo si determina una omotopia da h ′ a h ′′ , stavolta applicata ad ogni coppia di elementi
consecutivi della diagonale di h ′ , a partire dal primo:
cos θ − 1
θ ∈ [0, π/2] ↦−→
1 − sin θ
−1
sin θ − 1 g1 cos θ − 1 0
0 cos θ − 1
1 sin θ − 1
1 − sin θ g1
cos θ − 1 0
0
.
1
(1.6.3)
La mappa 1.6.3 realizza una omotopia tra [g1, g −1
1 ] (θ = 0) e [1, 1] (θ = π/2). Come prima, si
dimostra facilmente che gli operatori lineari che deformano h ′ in h ′′ al variare di θ in ]0, π/2[
sono tutti continui; inoltre si può riparametrizzare questa trasformazione in una usuale omotopia
parametrizzata tra 0 e 1.
Riassumendo, abbiamo deformato successivamente
g = [g1, 1, 1, 1, 1, . . .] = h = g1, g −1
1 g1, 1, g −1
1 g1, 1, . . .
in
h ′ = g 1, g −1
1 , g 1, g −1
1 , g 1, . . .
IMMERSIONI APERTE IN DIMENSIONE INFINITA