Immersioni aperte in dimensione infinita - Dipartimento di Matematica

C.1 Varietà di dimensione infinita 71
Ricordiamo che se X, Y sono spazi di Banach e le applicazioni lineari continue L ∈ L(X, Y ),
R ∈ L(Y, X) soddisfano LR = IY , L si dice inversa sinistra, mentre R si dice inversa destra. Questo
implica ovviamente che L è surgettiva ed R è iniettiva. Inoltre, ponendo P := RL ∈ L(X, X) si ha
P 2 = RLRL = RIY L = RL = P , quindi P è un proiettore e X si decompone in somma diretta
come
X = ker P ⊕ rk P = ker L ⊕ rk R.
Concludiamo che il nucleo di un’inversa sinistra è complementato, mentre l’immagine di un’inversa
destra è un sottospazio chiuso e complementato. Viceversa, se il nucleo di un’applicazione surgettiva
L ∈ L(X, Y ) è complementato, il teorema della mappa aperta applicato alla restrizione di L al
complementare di ker L prova l’esistenza di un’inversa destra di L. Analogamente, se l’immagine
dell’applicazione iniettiva R ∈ L(Y, X) è chiusa e complementata, il teorema della mappa aperta
mostra che R possiede un’inversa sinistra.
In conclusione: L ∈ L(X, Y ) è un inversa sinistra se e solamente se è surgettiva e il suo nucleo
è complementato, R ∈ L(Y, X) è un’inversa destra se e solamente se è iniettiva e la sua immagine
è un sottospazio chiuso e complementato.
Definizione C.16. Sia U un sottoinsieme aperto di uno spazio di Banach E ed f una applicazione
continua da U a valori in uno spazio di Banach F . Diremo che f è differenziabile in un punto x ∈ U
se esiste una applicazione lineare continua dfx : E → F tale che
|f(x + u) − f(x) − dfx(u)|
lim
= 0.
u→0
|u|
Diremo che f è differenziabile se è differenziabile in ogni punto x di U. Se la mappa df : U → L(E, F )
(x ↦→ dfx) è continua (C 0 ), diremo che f è di classe C 1 . In generale, per induzione, diremo che f è
di classe C k se df è di classe C k−1 . Infine, diremo che f è di classe C ∞ se è di classe C k per ogni k.
C.1.1 Immersioni, sommersioni e trasversalità
Definizione C.17. Siano M e N due varietà di classe C ∞ modellate su spazi di Banach. Un’applicazione
f : M → N di classe C ∞ sarà detta una immersione se, per ogni x in M,
dfx : TxM −→ T f(x)N
ammette un’inversa sinistra (i.e., è un’inversa destra), ossia, equivalentemente, l’immagine dell’applicazione
iniettiva dfx ∈ L TxM, T f(x)N è chiusa e complementata. Se inoltre f è un omeomorfismo
con l’immagine (e quindi, in particolare, f è globalmente iniettiva) diremo che è un
embedding.
Definizione C.18. Siano M e N due varietà di classe C ∞ modellate su spazi di Banach. Un’applicazione
f : M → N di classe C ∞ sarà detta una sommersione se, per ogni x in M,
dfx : TxM −→ T f(x)N
ammette un’inversa destra (i.e., è un’inversa sinistra), ossia, equivalentemente, il nucleo dell’applicazione
surgettiva dfx ∈ L(TxM, T f(x)N) è complementato.
Proposizione C.19 ([Lan 01] Capitolo 2, paragrafo 2). Sia f una mappa di classe C ∞ da una
varietà M in una varietà N. Allora f è una immersione se e solo se è localmente un diffeomorfismo
su una sottovarietà di N; f è un embedding se e solo se è un diffeomorfismo su una sottovarietà
di N.
Osservazione C.20. Se f : M → N è un embedding aperto, i.e., f è un embedding e l’immagine
f(M) ⊂ N è un sottoinsieme aperto, allora, per ogni x in M, dfx : TxM → T f(x)N è un’applicazione
surgettiva, i.e.
dfx(TxM) = T f(x)N.
RAUL TOZZI