Immersioni aperte in dimensione infinita - Dipartimento di Matematica

2 Fenomeni della dimensione infinita
Veniamo intanto all’annunciata estensione in dimensione infinita del teorema 1.1 di Whitney.
Per le definizioni, e, più in generale, per i prerequisiti necessari alla comprensione dei risultati di
questo capitolo, si faccia riferimento all’appendice C.
Teorema 1.3. Ogni varietà di classe C ∞ avente base numerabile modellata su uno spazio di Hilbert
separabile ammette un embedding di classe C ∞ su una sottovarietà chiusa di uno spazio di Hilbert
separabile.
Dimostrazione. Sia M una varietà come per ipotesi, e {(Ui, ϕi)} un atlante numerabile della varietà
M con, per ogni i, ϕi(Ui) = BO(1), la palla unitaria aperta del modello H di M. Sia {Vi} un
raffinamento localmente finito di {Ui} e {Wi} un ricoprimento di M costituito da insiemi aperti
tali che per ogni i, W i ⊂ Vi. Sia gi una funzione a valori reali di classe C∞ definita su M tale che
0 ≤ gi(x) ≤ 1 per ogni x ∈ M, gi ≡ 0 su M \ Vi e gi ≡ 1 su W i. Definiamo ψi : M → H × R
mediante
gi(x) ϕi(x), gi(x)
ψi(x) =
se x ∈ Ui,
(O, 0) altrimenti.
Allora chiaramente ψi| Wi è un embedding. Poniamo adesso Ei := H × R, i ∈ N + , e denotiamo con
E la somma di Hilbert 1 degli Ei. Definiamo ψ : M → E ponendo
ψ(x) = ψi(x). (1.1.1)
Si noti che ψ è una applicazione di classe C ∞ , infatti nell’intorno di ogni punto x in M tutti i
termini della somma che definisce ψ sono nulli eccezion fatta che per un numero finito di essi, i
quali sono di classe C ∞ .
Osserviamo che ψ è un’immersione iniettiva, infatti, per ogni x in M esiste un numero finito
di indici i tale che x ∈ Wi e ψi| Wi e quindi ψ| Wi è un embedding. Inoltre, siccome per x in Wi
gi(x) = 1, si deduce che |ψ(x)| > 1 per ogni x in M.
Verifichiamo che l’immagine ψ(M) è chiusa in E. Per questo supponiamo che ψ(xn) converga
a un punto y in E. Segue che, per qualche i, (ψi(xn)) converge a un punto yi ∈ Ei \ {O}, inoltre
esiste N in N tale che xn ∈ Vi per ogni n ≥ N. Ora, (ϕi(xn)) converge in BO(1), d’altra parte
ϕi : Ui → BO(1) è un diffeomorfismo, quindi (xn) converge a un punto x in Ui. Dunque ψ è
un’immersione iniettiva chiusa di classe C ∞ , quindi ψ −1 è continua, ψ è un omeomorfismo e perciò
è un embedding (cfr. proposizione C.21 in appendice).
La dimostrazione è conclusa osservando che E è uno spazio di Hilbert separabile.
Ricordiamo che una immersione in una varietà Riemanniana induce una metrica Riemanniana
anche nella varietà di partenza. Precisamente:
Definizione 1.4. Siano M ed N varietà, F : M → N un’immersione, e g una metrica Riemanniana
su N. Definiamo per ogni p in M una forma bilineare (F ∗ g)p su TpM ponendo
∀ v, w ∈ TpM (F ∗
g)p(v, w) = gF (p) TpF (v), TpF (w)
È immediato verificare che F ∗ g è una metrica Riemanniana su M, detta metrica indotta da g
tramite F , o metrica pullback.
Corollario 1.5. Ogni varietà a base numerabile di classe C ∞ modellata su uno spazio di Hilbert
separabile ammette una metrica Riemanniana completa.
1 Sia Xi uno spazio di Hilbert per ogni i = 1, 2, . . .. La somma di Hilbert degli Xi è l’insieme delle successioni
(x1, x2, . . .) in cui xi ∈ Xi per ogni i, e ||xi|| 2 < ∞ (cfr. Dieudonné [Di 69] pag. 123 per la nozione precisa e le
proprietà basilari delle somme di Hilbert).
IMMERSIONI APERTE IN DIMENSIONE INFINITA