Immersioni aperte in dimensione infinita - Dipartimento di Matematica

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62 Propedeuticità topologiche Osservazione A.4. Sia f : X → Y una mappa da uno spazio topologico X a valori in uno spazio topologico Y . Posto R := f(X), se R ⊂ Y è un sottoinsieme chiuso allora i seguenti fatti sono equivalenti: (1) ∀ K ⊂ Y compatto, f −1 (K) ⊂ X è un compatto. (2) ∀ K ⊂ R compatto, f −1 (K) ⊂ X è un compatto. Prova: Chiaramente (1) ⇒ (2). Verifichiamo che anche (2) ⇒ (1) : Sia K ⊂ Y un compatto, allora, poiché R è un chiuso di Y , R ∩ K è un sottoinsieme chiuso di K rispetto alla topologia di sottospazio su K. Inoltre, siccome K è compatto, R ∩ K ⊂ K è compatto perché chiuso in un compatto. Dunque (i) R∩K ⊂ Y è un sottoinsieme compatto, (ii) R∩K ⊂ R, e quindi per l’ipotesi (2) f −1 (K) = f −1 (R ∩ K) è un compatto. Proposizione A.5. Se X è uno spazio paracompatto e se {Ui} è un ricoprimento aperto, allora esiste un ricoprimento aperto localmente finito {Vi} di X tale che Vi ⊂ Ui per ogni i. Dimostrazione. Sia {Vk} un raffinamento aperto localmente finito di {Ui}. Per ogni k esiste un indice i = i(k) tale che Vk ⊂ U i(k). Sia Wi l’unione dei Vk tali che i(k) = i. Allora l’insieme dei Wi costituisce un ricoprimento aperto localmente finito di X, infatti ogni intorno di un punto che interseca un numero infinito dei Wi deve intersecare anche un numero infinito di insiemi Vk. Ricordiamo che uno spazio di Hausdorff è normale se ogni coppia di insiemi chiusi disgiunti ammette intorni aperti disgiunti. In particolare, ogni spazio di Hausdorff paracompatto è normale, come stabilito dalla seguente proposizione: Proposizione A.6. Se X è uno spazio paracompatto allora X è normale. Se, inoltre, {Ui} è un ricoprimento aperto localmente finito di X, allora esiste un ricoprimento aperto localmente finito {Vi} di X tale che per ogni i, V i ⊂ Ui. Dimostrazione. Si rimanda il lettore a [Bou3 89]. Ognuna delle seguenti proprietà caratterizza gli spazi normali: (a) Per ogni chiuso F e aperto U ⊃ F esiste un insieme aperto V con F ⊂ V ⊂ V ⊂ U. (b) Per ogni coppia di insiemi chiusi disgiunti A e B, esiste un aperto U con A ⊂ U e U ∩ B = ∅. (c) Ogni coppia di insiemi chiusi disgiunti ammette intorni la cui chiusura ha intersezione vuota. Teorema A.7. Uno spazio topologico è normale se e solo se ogni suo ricoprimento aperto puntualmente finito ammette un raffinamento shrunk aperto. Dimostrazione. Una dimostrazione di questo teorema si può trovare per esempio in [Du 66, Cap. 7, Sezione 6]. Il teorema A.7 è utilizzato implicitamente all’interno della tesi nelle costruzioni di cui nella sottosezione 2.5.3 nel seguente modo: se U è un ricoprimento aperto localmente finito di uno spazio metrizzabile allora (siccome gli spazi metrizzabili sono normali e di Hausdorff), per il teorema A.7 U ammette un raffinamento shrunk (infatti ogni ricoprimento localmente finito è chiaramente puntualmente finito). In particolare Corollario A.8. Ogni ricoprimento aperto numerabile di uno spazio metrizzabile, in quanto paracompatto, ammette un raffinamento shrunk aperto. Il seguente risultato è ben noto, ed è conseguenza del fatto che ogni spazio metrizzabile separabile è numerabilmente paracompatto e di Lindelöf. Per una dimostrazione dettagliata si consulti per esempio [Du 66, Cap. 8, Sezione 3]. IMMERSIONI APERTE IN DIMENSIONE INFINITA
A.2 Assiomi di numerabilità 63 Lemma A.9. Ogni ricoprimento aperto di uno spazio metrizzabile separabile ammette un raffinamento numerabile star-finito. Avremo bisogno anche del seguente lemma: Lemma A.10. Sia {Ui}i1 un ricoprimento aperto localmente finito di uno spazio metrizzabile separabile X; sia {Vi}i1 un raffinamento shrunk di {Ui}i1. Allora esiste un raffinamento starfinito {Wj}j1 di {Vi}i1 tale che Wj ⊂ V i(j) ⇒ St(Wj) ⊂ U i(j). Dimostrazione. Fissato x ∈ X, siano 1(x), . . . , m(x) gli interi per cui x ∈ Ui(x) (1 i m). Supponiamo che x ∈ V1(x). Siccome x /∈ V j per j /∈ 1(x), . . . , m(x) , l’insieme Wx = V1(x) ∩ U2(x) ∩ · · · ∩ Um(x) ∩ X \ Vj : j /∈ {1(x), . . . , m(x)} è un intorno aperto di x: infatti, se fosse x ∈ Vj : j /∈ {1(x), . . . , m(x)} allora ogni intorno di x intersecherebbe qualche Vj. D’altra parte {V j}j≥1 è localmente finito, dunque esiste un intorno W di x che interseca esclusivamente un numero finito di elementi di {V j}j≥1, che indicheremo con V j1 , . . . , V jp . Quindi W ∩ (X \ V j1 ) ∩ · · · ∩ (X \ V jp ) è un intorno di x che non interseca alcuno dei Vj, contraddizione, dunque x ∈ X \ Vj : j /∈ {1(x), . . . , m(x)} . Supponiamo che Wx ∩ Wx ′ = ∅ e Wx ⊂ Vj. Dunque j = i(x) per qualche intero i(x). Essendo Wx ′ ∩ Vj = ∅, per qualche indice i ′ risulta j = i ′ (x ′ ). Segue che Wx ∪ Wx ′ ⊂ Uj. Il lemma è dimostrato scegliendo un raffinamento numerabile star-finito del ricoprimento {Wx}x∈X. A.2 Assiomi di numerabilità Definizione A.11. Siano X uno spazio topologico e x0 in X. Un insieme U di intorni di x0 si dice base di intorni di x0 o sistema fondamentale di intorni di x0 se ogni intorno di x0 contiene un intorno in U. Definizione A.12. Uno spazio topologico X soddisfa il primo assioma di numerabilità, e si dice primo numerabile, se ogni punto ha una base di intorni numerabile, i.e., per ogni punto x in X esiste una successione U1, U2, . . . di intorni aperti di x tale che per ogni intorno V di x esiste i per cui Ui ⊂ V . Esso soddisfa il secondo assioma di numerabilità, ed in tal caso si dice anche che X è secondo numerabile oppure che X è a base numerabile, se ha una base numerabile per la topologia, esiste cioè una famiglia numerabile di aperti tale che ogni altro aperto è unione di aperti della famiglia. Osservazione A.13. Si dimostra [Bou4 90] che uno spazio topologico che soddisfa il secondo assioma di numerabilità soddisfa anche il primo assioma di numerabilità. La nozione espressa dalla prossima definizione è una sorta di terzo assioma di numerabilità: la separabilità: Definizione A.14. Uno spazio topologico si dice separabile se contiene un sottoinsieme denso e numerabile. Proposizione A.15. Ogni spazio topologico a base numerabile è separabile. Dimostrazione. Sia B una base numerabile di uno spazio topologico X; per ogni aperto U ∈ B scegliamo un punto p U ∈ U. L’insieme B = {pU : U ∈ B} è numerabile, l’insieme X \ B non contiene alcun aperto della base e quindi B = X. RAUL TOZZI
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Università degli Studi di Pisa Fac
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Prefazione L’obiettivo principale
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S 1 , che certamente non ammette un
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Notazioni Notazioni di uso corrente
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2 Fenomeni della dimensione infinit
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