Immersioni aperte in dimensione infinita - Dipartimento di Matematica

E.1 Un esempio notevole: la mappa esponenziale 101
E.1 Un esempio notevole: la mappa esponenziale
In questa sezione dimostreremo che sotto opportune ipotesi la mappa esponenziale di una varietà
Riemanniana è una mappa di Fredholm non lineare di indice zero.
Premettiamo alcune definizioni. Nelle notazioni introdotte nella definizione C.38 pag. 77 consideriamo
la seguente
Definizione E.11. Sia π : X → M un fibrato vettoriale su varietà di Hilbert M. Una connessione
su X è una applicazione ∇: T (M) × E(M) → E(M), scritta (X, V ) ↦→ ∇XV , tale che
C 1. ∇XV è C ∞ (M)-lineare in X:
C 2. ∇XV è R-lineare in V :
C 3. ∇ soddisfa un’identità di Leibniz:
∀ f, g ∈ C ∞ (M) ∇fX1+gX2V = f∇X1V + g∇X2V ;
∀ a, b ∈ R ∇X(aV1 + bV2) = a∇XV1 + b∇XV2;
∀ f ∈ C ∞ (M) ∇X(fV ) = f∇XV + (Xf)V.
Se X ∈ T (M) e V ∈ E(M), la sezione ∇XV è detta derivata covariante di V lungo X. Una
connessione sul fibrato tangente ad M, ∇: T (M) × T (M) → T (M) è detta connessione lineare o
semplicemente connessione su M.
Se σ : I → M è una curva in M, dove I ⊂ R è un intervallo, una sezione di X lungo σ è
un’applicazione V : I → X di classe C ∞ tale che V (t) ∈ X σ(t) per ogni t ∈ I. Lo spazio vettoriale
delle sezioni di X lungo σ verrà indicato con E(σ), o con T (σ) se X = T M. Una sezione V ∈ E(σ) è
estendibile se esiste un intorno U del sostegno di σ e una sezione ˜ V ∈ E(U) tale che V (t) = ˜ V σ(t)
per ogni t ∈ I.
Teorema E.12 ([Lan 01] 3.1, pag. 204). Sia ∇ una connessione su un fibrato vettoriale X → M
basato su varietà di Hilbert M, e σ : I → M una curva in M. Allora esiste un unico operatore
D : E → E soddisfacente le seguenti proprietà:
(i) è R-lineare:
(ii) soddisfa una regola di Leibniz:
∀ a, b ∈ R D(aV1 + bV2) = aDV1 + bDV2;
∀ f ∈ C ∞ (I) D(fV ) = f ′ V + fDV ;
(iii) se V ∈ E è estendibile, e ˜ V è un’estensione di V , si ha:
DV (t) = ∇ σ ′ (t) ˜ V .
Definizione E.13. L’operatore D la cui esistenza ed unicità è garantita dal teorema precedente è
detto derivata covariante lungo la curva σ : I → M. Se t ∈ I e V ∈ E(σ), scriveremo anche DtV in
luogo di DV (t).
Definizione E.14. Sia ∇ una connessione su un fibrato vettoriale π : X → M, e σ : I → M una
curva. Una sezione V ∈ E(σ) è detta parallela se DV ≡ O.
Osservazione E.15. Sia ∇ una connessione su un fibrato vettoriale π : X → M, e σ : [0, 1] → M una
curva. Dato v ∈ Xp0 , allora (cfr. [Lan 01] teorema 3.3, pag. 206) esiste un’unica sezione V ∈ E(σ)
parallela lungo σ tale che V (0) = v.
RAUL TOZZI