Immersioni aperte in dimensione infinita - Dipartimento di Matematica

78 Geometria differenziale in dimensione infinita
C.2.1 Fibrato pull-back
Sia π : X → N un fibrato vettoriale, ed f : M → N una applicazione di classe C ∞ . Allora f induce
una struttura di fibrato vettoriale su M.
?
M
f
Si definisca a questo scopo l’insieme f ∗ (X) def
= {(p, x) ∈ M × X : f(p) = π(x) ∈ N}, unitamente
alle proiezioni naturali f ∗ (π), π ∗ (f) definite da
f ∗ (π): f ∗ (X) → X con
π ∗ (f): f ∗ (X) → M con
X
π
N
f ∗ (π) (p, x) = x
π ∗ (f) (p, x) = p.
Proposizione C.40. Se π : X → N è un fibrato vettoriale e f : M → N è una applicazione di
classe C ∞ allora π ∗ (f): f ∗ (X) → M è un fibrato vettoriale, detto il fibrato pull-back di X, e la
coppia (f ∗ (π), f) è un morfismo di fibrati. Lo spazio totale del fibrato pull-back si denota anche con
M × N X ed è detto il prodotto fibrato di M e X.
In particolare f ∗ (X)
f ∗ (X)
f ∗ (π)
π ∗ (f)
M
f
p ∼ = X f(p) ; inoltre, se X è definito dal ricoprimento {Uα} e dalle funzioni
di transizione {g αβ }, allora f ∗ (X) è definito da {f −1 (Uα)} e dalle funzioni di transizione {gαβ ◦ f}.
C.2.2 Fibrati Hilbertiani
Se E è uno spazio di Hilbert, il sottogruppo degli automorfismi isometrici di E è detto il gruppo
degli automorfismi di Hilbert. Chiaramente (cfr. lemma G.27) A è di Hilbert se e solo se A ∗ A = I.
Sia π : X → M un fibrato vettoriale su M (cfr. definizione C.30) e {(Uα, χα)} un ricoprimento
banalizzante, in cui, per ogni α,
χα : π −1 (Uα) → Uα × E,
E è uno spazio di Hilbert, e, per ogni coppia (α, β) di indici tale che Uα ∩ Uβ = ∅,
X
π
N
(∀ p ∈ Uα ∩ Uβ) χ βp ◦ χ −1
αp : E → E (C.2.5)
è un automorfismo di Hilbert.
Un ricoprimento banalizzante siffatto sarà detto una banalizzazione di Hilbert. Due banalizzazioni
di Hilbert saranno dette Hilbert-compatibili se la loro unione è nuovamente una banalizzazione
di Hilbert. Una classe di equivalenza di tali banalizzazioni compatibili costituisce ciò che
chiameremo un fibrato di Hilbert su M.
Data una banalizzazione di Hilbert {(Uα, χα)} di un fibrato vettoriale π : X → M, su ciascuna
fibra Xp di X possiamo definire senza ambiguità una struttura di spazio di Hilbert. Infatti, per
ogni p in M, scelto un aperto Uα tale che p ∈ Uα, possiamo trasportare a Xp il prodotto scalare in
E per mezzo di χ αp : Xp → E: si noti che, essendo (C.2.5) un automorfismo di Hilbert, se p ∈ Uβ,
β = α, allora le strutture Hilbertiane su Xp indotte dalla struttura di E via χ αp e χ βp coincidono.
Segue che, in un fibrato di Hilbert, possiamo assumere che le fibre siano spazi di Hilbert, non solo
spazi Hilbertabili.
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