Immersioni aperte in dimensione infinita - Dipartimento di Matematica

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8 Fenomeni della dimensione infinita Proposizione 1.18. La sfera unitaria di uno spazio di Hilbert reale separabile di dimensione infinita è un retratto di deformazione forte della palla unitaria chiusa. Dimostrazione. Si consideri la mappa r definita nell’osservazione 1.15. Indicata con ι: S ↩→ B l’inclusione, proviamo che ι◦r è omotopa relativamente ad S all’identità di B. Costruiamo in modo standard una omotopia R: B × [0, 1] → B tra l’identità di B e la retrazione r ponendo: R(x, t) def = (1 − t)r(x) + tx Dalla proprietà di convessità di B segue intanto che, effettivamente, l’immagine di R è contenuta in B, inoltre R è chiaramente continua. Osserviamo che, per t = 0, R(·, 0) = r, e, per t = 1, R(·, 1) = idB. Infine, per ogni x in S, r(x) = x, quindi, per ogni t in I R(x, t) = (1 − t)x + tx = x. Dunque R deforma B in S relativamente a S ed S è un retratto di deformazione forte di B. IMMERSIONI APERTE IN DIMENSIONE INFINITA
1.5 Il teorema di Bessaga 9 1.5 Il teorema di Bessaga Scopo primario di questa sezione è provare un caso speciale del teorema di embedding aperto (teorema 2.78), dimostreremo cioè che la sfera unitaria di uno spazio di Hilbert di dimensione infinita è diffeomorfa all’intero spazio. Vediamo intanto alcuni fatti preliminari. Sia H uno spazio di Hilbert. Indicata con BO(1) ⊂ H la palla unitaria aperta di H, esiste un omeomorfismo da H su BO(1), per esempio la mappa inversa essendo v ∈ H ↦−→ w ∈ BO(1) ↦−→ v 1 + |v | 2 1/2 ∈ BO(1), (1.5.1) w 1 − |w | 2 ∈ H. (1.5.2) 1/2 Dunque H e BO(1) sono omeomorfi. Tutto ciò continua ad essere vero anche nel caso degli spazi di Banach, con la stessa dimostrazione si prova cioè che uno spazio di Banach e la sua palla unitaria aperta sono omeomorfi. Nel caso degli spazi di Hilbert, il fatto che la norma discenda da un prodotto scalare permette di concludere inoltre che il funzionale |·|| 2 è di classe C ∞ , e quindi la palla unitaria aperta di uno spazio di Hilbert e lo spazio di Hilbert stesso sono diffeomorfi con un diffeomorfismo di classe C ∞ . Proveremo dunque che | · | 2 è di classe C ∞ (il differenziale essendo quello secondo Fréchèt), e, come si vedrà, si sfrutterà fin dall’inizio il fatto che | · | sia deducibile da una prodotto scalare. Indicato con 〈·, ··〉H il prodotto scalare su H, F def = | · | 2 = 〈idH, idH〉: H → R + ; idH : H → H; F ′ : H → L(H, R); (idH) ′ : H → End(H); F ′ = 2 (idH) ′ , idH ; F ′ (x)(h) = F ′ (x) (h) = 2 (idH) ′ (x), idH (h) = 2 idH(x), idH (h) = 2 x, h . Dunque F ′ (x): h → 2 h, x è un funzionale lineare e continuo quindi F è di classe C 1 . Il funzionale F ammette derivata di Fréchèt indipendente dal punto in cui è calcolata (dunque, in particolare è continua), segue che a partire dalla derivata terza di F tutte le derivate di Fréchèt in x, per ogni x in X, sono nulle: F è quindi banalmente differenziabile infinite volte con continuità. Per gli spazi di Banach basti solo pensare che esistono spazi separabili per i quali la norma non è Fréchèt differenziabile in alcun punto (per esempio (ℓ 1 , | · |1)). Inoltre, se uno spazio di Banach ha la proprietà che | · | 2 è differenziabile due volte secondo Fréchèt in zero, allora esso è isomorfo a uno spazio di Hilbert (se f(x) = |x| 2 è differenziabile due volte secondo Fréchèt in 0 allora df0 = 0 ed il polinomio di Taylor T di grado 2 è una forma quadratica. Esso soddisfa f(x)−T (x) = o(|x| 2 ). Dunque, per ε > 0 sufficientemente piccolo, |x| = ε ⇒ f(x) − T (x) ≤ 1 2 |x|2 . Quindi T (x) ≥ 1 2 |x|2 e perciò x ↦→ (T (x)) 1/2 è una norma hilbertiana equivalente). Osservazione 1.19. Chiaramente, se a > 0, allora ogni palla di raggio a è isomorfa alla palla unitaria per mezzo della moltiplicazione per lo scalare a (o a −1 ). Osservazione 1.20. Nelle notazioni introdotte sopra, per ogni x = 0, F ′ (x) = 2 x, · : H → R è surgettivo. Inoltre il suo nucleo è il complemento ortogonale del sottospazio generato da x, e quindi è complementato. Segue che (cfr. teorema C.27) la sfera unitaria S in uno spazio di Hilbert è una sottovarietà. Osservazione 1.21. Sia x0 in S un punto arbitrario. Posto A := {x0} ∪ {x ∈ S : (x1 − x0) > 1/2}, considereremo su S l’atlante {(Sy, ϕy)}y∈A, in cui Sy := {x ∈ H : 〈x, y〉 > 0}, e, definito Hy come Hy := {x ∈ H : 〈x, y〉 = 0}, ϕy : Sy → Hy è la proiezione ortogonale della semisfera Sy sul sottospazio Hy. Si verifica facilmente che questo atlante è compatibile con la struttura di varietà differenziabile di S ereditata da H. RAUL TOZZI
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